0%

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

可分离变量微分方程

  • 形式:$y$和$x$可分离到等式两侧
  • 方法:分离变量至两次后,两端积分即可

齐次微分方程

  • 形式:$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$
  • 思路:换元令$t=\frac{y}{x}$
  • 注意:所有的换元操作在解出微分方程后都需要把原变量带回去,结果中的变量必须是原始的
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

理解铺垫

  • 无穷级数和数列的区别
    • 无穷级数本质是一个数,这个数的表达形式是无穷个数的和(加号连接每一项)
    • 数列本质是无穷个数,这无穷个数的表达形式是无穷个数的排列(逗号连接每一项)
  • 无穷级数和数列的联系
    • 两者存在1对1的映射关系,级数和数列的第n项指的是同一个数
    • 经常用数列中的理论解决无穷级数问题。比如:级数收敛等价于,级数所对应数列的前n项和(也是一个数列)在无穷处收敛
    • 后面在表述中,在没有歧义的情况下,把“级数所对应数列”表述为“数列”

常数项级数

正项级数敛散性

阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

重积分

二重积分

  • 性质:和一元积分类似,有保号性和中值定理
  • 计算:直角坐标、极坐标,注意用合适的积分次序计算累次积分
    • $ds=dx\cdot dy=dr\cdot rd\theta$
  • 技巧1:根据积分域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算
    • 情况一:积分域关于坐标轴对称,被积函数有奇偶性
      • 积分等于$0$或两倍的半积分域上的积分
    • 情况二:积分域关于$y=x$对称(即积分域表达式调换$x,y$不改变积分域)
      • 被积函数调换$x,y$不改变积分结果
    • 其他情况:对称性也可以不是关于坐标轴,而是平行于坐标轴的直线
  • 技巧2:极坐标的极点也可以不选在原点
  • 技巧3:利用形心
    • 本质还是利用对称性

三重积分

阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

基本概念

  • 重极限
    • 含义:以在平面上任何路径趋近某个点时,都有相同极限
    • 证明极限不存在:找到某个路径,其极限不存在,或某两个路径极限不相等
    • 证明极限存在:证明所有路径都有极限,且极限都相等
    • 求解:运算化简、转化为一元函数、用等价无穷小代换、夹逼准则等
  • 连续性
    • 极限值等于函数值
  • 偏导数求解
    • 一般分段函数需要按定义求解
    • 用导数公式法求解出的实际上是偏导数的极限
  • 微分
    • 充要条件
      • $\Delta z=dz+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$
      • 体现了微分$dz$形式的不变性
    • 必要条件
      • 某点处两个偏导数存在(只考虑了部分的方向)
      • 某点处连续
    • 充分条件
      • 某点处两个偏导数连续

多元微分法则

  • 复合函数偏导数
    • 绘制树形图
      • 对变量求偏导,结果是多个项的和
      • 每个项都是多个导数的乘积,对应一条从根到叶的路径
      • 路径上的结点有多个孩子,则求偏导,有一个孩子则求导
  • 高阶偏导数
    • 把偏导数看出多元函数,继续求解即可
  • 混合偏导数次序无关条件
    • 当两个混合偏导数在某点连续,则在该点两个混合偏导数相等
  • 隐函数方程组的求导
    • 首先绘制树形图,明确变量的对应关系,便于开展求导过程
    • 方程式左右两边同时求偏导,解出即可
  • 求带参数的全微分的原函数
    • 偏积分:分别用两个偏导数直接计算出原函数,再令其相等
    • 利用$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
      • 首先使用微分充要条件,即$P,Q$是偏导数
      • 然后使用混合偏导数次序无关条件,需要检查$P,Q$的连续性
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

叉乘和混合积

  • $\pmb{a}\times \pmb{b}=\left | \begin{matrix}\pmb{i}& \pmb{j}& \pmb{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z \end{matrix} \right |$
    • 大小对应两个向量合成的平行四边形的面积
  • $(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c})=(\pmb{a}\times \pmb{b})\cdot \pmb{c}=\left | \begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z \\c_x&c_y&c_z\end{matrix} \right |$
    • 大小对应三个向量合成的平行六面体的体积

平面和直线

  • 平面
    • $Ax+By+Cz+D=0$
    • 通过梯度计算,得到$(A,B,C)$是法向量
  • 直线
    • $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
    • 通过定义法,得到$(a,b,c)$是方向向量,要求不是零向量
  • 平面间位置关系
    • 利用法向量
  • 直线间位置关系
    • 利用方向向量
  • 平面和直线的位置关系
    • 利用法向量和方向向量
  • 点到平面的距离
    • $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
    • 本质是把点和平面上某点相连,利用数量积求出连成的向量在法向量上的投影
  • 点到直线的距离
    • 把点和直线上某点相连,利用向量积求出连成的向量在垂直于方向向量上的投影
  • 平面直线的距离
    • 用点到直线的距离来求
  • 异面直线的距离
    • 在两个直线上分别取点连成向量,把混合积(两个方向向量和连成的向量)的大小除以两个方向向量叉乘的大小
    • 本质上平行六面体体积除以底面的面积,就是高度,即异面直线的距离
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

原函数和不定积分

  • 原函数
    • 若存在$F(x)$,使得$F’(x)=f(x)$,则$F(x)$是$f(x)$的原函数
    • $F(x)+C$是$f(x)$的原函数一般形式
  • 不定积分
    • 原函数的一般形式即不定积分
    • 记为$\int f(x)dx=F(x)+C$
  • 原函数存在性(不定积分存在性)
    • 函数闭区间连续,则存在闭区间的原函数
    • 函数闭区间,若间断点只有振荡间断点,则存在闭区间的原函数

定积分

  • 定积分
    • 分割、乘积、求和、取极限,若极限存在,则该极限为定积分
  • 定积分存在性
    • 函数闭区间连续,则存在该区间上的定积分
    • 函数闭区间有界,间断点有限,则存在该区间上的定积分
  • 不定积分和定积分的关系
    • 存在性互不相关
    • 若函数闭区间连续,则不定积分和定积分都存在
      • 定积分表示原函数(变上限积分):$F(x)=\int f(x)dx=\int_{a}^xf(t)dt+C$
      • 原函数表示定积分(牛顿-莱布尼兹定理):$\int_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
    • 若函数闭区间有一个跳跃间断点,其余位置连续,设$F(x)=\int_{a}^xf(t)dt+C$
      • 分析1:根据存在性判定,闭区间不存在原函数,但存在定积分,说明存在某些位置$F(x)$不可导,或$F’(x)\neq f(x)$
      • 结论1:$F(x)$闭区间连续
      • 结论2:非间断位置,$F’(x)=f(x)$
      • 结论3:间断位置,$F’_-(x)=f(x^-),F’_+(x)=f(x^+)$
      • 分析2:间断点$x_0$是跳跃间断点,则$F’_-(x_0)\neq F’_+(x_0)\Rightarrow F(x_0)$不可导
      • 分析3:间断点$x_0$如果改成可去间断点,则$F’(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)\neq f(x_0)$(不一定严谨,因为不清楚前面结论是否还成立)
  • 定积分的性质
    • $\forall x\in [a,b],f(x)\leq g(x)\Rightarrow \int_a^bf(x)dx\leq \int_a^b g(x)dx$
    • 在上面性质基础上,若闭区间连续且$\exists x_0,f(x_0)<g(x_0)\Rightarrow \int_a^bf(x)dx< \int_a^b g(x)dx$
    • 积分中值定理
      • 见第二章的中值定理体系
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

微分

  • $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
    • $f’(x_0)=A$
    • $dx=\Delta x$
    • $dy=A\Delta x=f’(x_0)dx$
    • $o(\Delta x)=\frac{1}{2}f’’(\xi)(\Delta x)^2,\xi\in(x_0,x_0+\Delta x)$
  • 可微$\Leftrightarrow$可导$\Rightarrow$连续
  • 反函数的导数
    • $arcsinx’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
    • $arccosx’=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
    • $arcsinx’=\frac{1}{1+x^2}$
    • $arcsinx’=\frac{-1}{1+x^2}$
  • 变限积分求导
    • $(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt)’=f(\phi_2(x))\phi_2’(x)-f(\phi_1(x))\phi_1’(x)$
  • 参数式求导
    • $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
  • 隐函数求导
    • 两边同时微分再除以$dx$
  • 反函数求导
    • 一阶:$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
    • 二阶:按导数定义,用微分计算法则求解即可

导数的应用

  • 单调性
    • 严格单调:没有常数区间的单调
    • 单调:在常数区间外,单调
  • 极值
    • 必要条件:若可导,则导数为0
    • 充分条件一:极值点处连续、去心邻域内可导、左右侧导数异号
    • 充分条件二:极值点处二阶可导,且一阶导为0,二阶导不为0
  • 可疑极值(所有可能是极值的点)
    • 驻点
    • 不可导点
  • 凹凸性
    • 定义:弦在弧上方是凹,弦在弧下方是凸
      • 数分的定义刚好反过来
    • 判断:要求一阶导没有常数区间,此时二阶导非正为凸、非负为凹
  • 拐点
    • 定义:凹凸的分界点
    • 必要条件:若可二阶导,则二阶导为0
    • 充分条件一:拐点处连续、去心邻域内可二阶导、左右侧二阶导异号
    • 充分条件二:拐点处三阶可导,且二阶导为0,三阶导不为0
  • 驻点
    • 导数为0的点
  • 最值
    • 闭区间问题
      • 求内部的可疑极值点的函数值
      • 求两端点的函数值
      • 取其中最大者为最大值,最小者为最小值
    • 应用问题
      • 建模求解即可
  • 渐近线
    • 水平渐近线
      • 正无穷或负无穷处的渐近线$y=c_1,y=c_2$,若重合只能算一条
    • 铅直渐近线
      • 某个极限为无穷的点$x_0$的渐近线$x=x_0$
    • 斜渐近线
      • $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=a,\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-ax)=b$,则有斜渐近线$y=ax+b$
  • 曲率
    • $k=\frac{|d\theta|}{ds}\stackrel{y’=tan\theta}=\frac{|d(y’)|cos^2\theta}{\sqrt{1+(y’)^2}dx}=\frac{|y’’|}{(1+(y’)^2)^{\frac{3}{2}}}$
  • 曲率半径
    • 曲率的倒数
  • 曲率圆中心
    • 递增凹函数的情况推导,用曲率半径表达出通用公式
      • 曲率圆中心相对于函数点的位置,横坐标,纵坐标,且二阶导为
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

函数

  • sgn函数
    • 正数取1
    • 负数取-1
    • 0取0
  • 有界性
    • 可以从最值出发得到有界性
      • 有最值一定有界,有界不一定有最值
    • 可以从极限定义出发得到有界性
    • 可以从连续性出发得到有界性
    • 有限区间上,导函数有界,则原函数有界

极限

  • 数列的极限
    • $\forall \epsilon>0,\exists N\in N^\star, n>N \Rightarrow |A_n-A|<\epsilon$
  • 函数的极限
    • 6个收敛位置
      • 点左,点,点右,无穷大,正无穷大,负无穷大
    • 形式
      • $\forall \epsilon>0,\exists \ [condition1]\ ,\ [condition2]\ \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$
      • 点、无穷大对应$[condition1]$,左、右对应$[condition2]$
  • 无穷大
    • 定义:按前面极限的定义
    • 注意无穷大属于极限不存在的情况
  • 无穷小
    • 定义:按前面极限的定义,且$A=0$
    • 比较
      • 同阶:比的极限为常数
      • 等价:比的极限为1
      • 高阶:比的极限为0
      • 低阶:比的极限为无穷大
  • 极限存在定义:左右极限相等
  • 保号性:函数的极限存在,存在去心邻域使得函数和极限同号
  • 两个极限存在法则
    • 夹逼定理
    • 单调有界定理
  • 两个基本极限
    • $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$
    • $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
  • 等价无穷小替换的原理
    • $A\sim C\Rightarrow \lim\frac{A}{B}=\lim\frac{AC}{BC}=\lim\frac{A}{C}\lim\frac{C}{B}=\lim\frac{C}{B}$
  • 洛必达法则
    • 适用条件
      • 0比0型
      • 分子分母去心领域内可导且分母导数非0
      • 导数比值的极限存在或无穷
    • 除非有变限积分函数,不推荐使用该法则
      • 该法则算不出结果不代表一定没有结果
      • 该法则的每一次求导,都要验证使用条件
  • 带佩亚诺余项的泰勒公式
    • 求极限时推荐使用
  • 极限计算的思路
    • 尽量化简、提取极限非0的因式
    • 等价无穷小、洛必达、泰勒
    • 导数定义、积分和式定义
    • 夹逼定理、单调有界定理
  • 递推形式的数列极限
    • 先假设存在,求出唯一可能的极限
    • 再证明存在性,一般用夹逼、单调有界等
  • 复合函数的极限
    • 内函数在$a$处有极限$b$,在某个$a$的去心领域内不等于$b$
    • 外函数在$b$处有极限$c$
    • 则复合函数在$a$处有极限$c$
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

假设类型

  • 参数假设
    • 对总体分布函数的未知参数进行假设
  • 非参数假设
    • 不是参数假设的假设
  • 简单假设
    • 假设后的总体分布确定的假设
  • 复合假设
    • 不算简单假设的假设

错误类型

  • 第一类错误
    • 原假设正确,但被推翻(拒绝)
    • 优先保证不犯第一类错误
  • 第二类错误
    • 原假设错误,但被接受
阅读全文 »

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

本章旨在根据抽样结果,对总体分布函数中的参数值进行估计

点估计

矩估计法

  • 估计量
    • 作为参数的估计结果的统计量
  • 估计值
    • 估计量的观测值
  • 步骤
    • 样本原点矩的观测值等于总体分布的原点矩(实际不一定相等,只是估计)
    • 几个未知参数就列几个等式,从一阶原点矩开始列有效等式(等式右侧必须包含参数才有效),然后解方程
    • 参数$\theta$的估计结果要写成$\hat{\theta}$,并注意是矩估计量还是矩估计值
阅读全文 »