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【知识总结】拉普拉斯变换与连续时间系统复频域分析

发表于 2023-09-30 更新于 2023-10-18 分类于信号与系统阅读次数：评论数：

拉普拉斯变换

傅里叶变换推广为拉普拉斯变换

基底信号从推广成
- 其中为复平面上的值
- 当为纯虚数拉普拉斯变换退化为傅里叶变换
拉普拉斯变换定义
- 定义初衷
  - 时不满足绝对可积条件，此时原信号不存在傅里叶变换
- 正变换
  - 把乘以衰减因子再傅里叶变换（令）
- 逆变换
  - 对做逆傅里叶变换，
  - 故
  - 可以看出逆变换的积分路径是复平面的一条直线
符号表示
物理意义
- 信号可以分解成的线性组合
- 是复频率，是复频谱

单边拉普拉斯变换

对于因果系统，单边拉普拉斯变换更方便，本节后续主要考虑单边的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的收敛域

使拉普拉斯变换积分收敛的那些复数的集合，称为拉普拉斯变换的收敛域ROC
- 如果拉普拉斯变换的ROC包含轴，则有
零极点图
- 若
  - M是常数，分子多项式的根是零点，分母多项式的根是极点
- 的全部零点和极点在平面上构成了零极点图
  - 零极点图和收敛域可以表示一个，与真实的最多差一个常数因子
- ROC总是以平行于轴的直线为边界，该边界对应一个极点

常见信号的拉普拉斯变换

指数型函数
- 同理
三角函数
阶跃函数
冲激信号
- $全平面$
的正幂函数，其中是正整数
- - 根据以上可递推

拉普拉斯变换的性质

线性
- 若
  - 且
- 则
  - $至少为$
时移性质
- 若
- 则
  - $不变$
S域平移
- 若
- 则
  - （即ROC发生平移）
时域尺度变换
- 若
  - $：$
- 则
  - （即ROC边界乘以）
共轭对称性
- 若
- 则
时域卷积性质
- 若
- 则
  - $包括$
时域微分
- 若
- 则
  - 对于双边拉普拉斯变换，，ROC包括，有可能扩大
  - 对于单边拉普拉斯变换，，ROC包括，有可能扩大
S域微分
- 若
- 则
时域积分
- 若
- 则
  - 对双边拉普拉斯变换有 $包括$
  - 对单边拉普拉斯变换有 $包括$
初值定理
- 若
  - 是因果信号，在处不存在奇异函数
- 则
  - 证明思路是将在处展开为泰勒级数，然后进行拉普拉斯变换得
终值定理
- 若
  - 是因果信号，在处不存在奇异函数，的收敛域含
- 则
  - 证明思路是用拉普拉斯变换的时域微分性质，取极限

拉普拉斯反变换求解

定义法
留数定理
- 在特定条件下能把线积分转化为环路积分
  - Jordan引理：当满足在左半平面内只有有限个奇点，且时，则
  - 在Jordan引理条件下
- 再根据留数定理得
  - 为函数在封闭曲线内的所有孤立奇点
  - 这里只考虑是连续函数
部分分式展开法
- 思路
  - 根据拉普拉斯变换的线性特性，把复杂的拉普拉斯变换展开为多个简单拉普拉斯变换的组合，并对这些简单变换求反变换，从而求解原拉普拉斯反变换
- 步骤
  - 找出的极点
  - 将展开成部分分式
  - 由部分分式直接写出时域表达式
- 具体细节可以搜索查公式表，此处从略

连续时间系统的复频域分析

连续时间系统的系统函数

原理和定义
- 复指数函数是一切LTI系统的特征函数
  - 以为基底分解信号，输入信号的输出响应是，是系统的频率响应
  - 以为基底分解信号，输入信号的输出响应是，即的拉氏变换，称为系统函数或传输函数
求解方法
- 系统在零状态条件下，输出信号的拉氏变换和输入信号的拉氏变换的比值
- 对冲激信号的响应进行拉氏变换得到
求解零状态响应
- 时域卷积
- 域乘积

系统函数与系统特性

系统时域特性
- - ，指数衰减；，指数增加
- - ，等幅振荡
  - ，衰减振荡
  - ，增幅振荡
系统的因果性
- 有物理意义的物理系统都是因果系统
  - 时
- 是有理函数的系统为因果系统的充要条件
  - 的收敛域是域的某个右半平面
系统的稳定性
- 连续时间线性时不变系统稳定的充要条件
- 因果系统在域稳定的充要条件
  - 系统函数全部极点在平面的左半平面（极点实部小于零）
系统的频响特性
- 含义
  - 正弦信号激励下，系统稳态响应随信号频率变化特性
- 分析
  - 令系统响应取，即
  - 和分别称为幅频响应和相频响应

微分方程描述系统的复频域分析

求解时域微分方程可以得到系统时域响应
求解域代数方程可以得到系统域响应
- 通过拉氏变化可以把系统的微分方程转化为代数方程求解
- 对输出响应进行拉普拉斯反变换，得到

连续时间线性系统的框图描述

系统的基本构成单元
- 加法器
- 标量乘法器
- 积分器
系统的基本联接
- 定义
  - 多个系统的组合连接构成复杂系统，称为复合系统
  - 组成复合系统的每个系统称为子系统
- 组合连接方式
  - 串联：
  - 并联：
  - 反馈环路：