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向量与矩阵的范数
- 赋范空间
- 设或，是上的一个线性空间。若的函数满足下列性质，则是赋范空间
- 是向量的向量范数
- 常见向量范数
- 常见矩阵的向量范数（把矩阵看作向量）
- 使用向量范数构造向量范数
- 设是上的向量范数，是列满秩矩阵，则是上的向量范数
- 范数的等价性
- 有限维线性空间上任意两种范数等价的充要条件有
- 有限或无限维线性空间上任意两种范数等价的充要条件有
- 有限维线性空间的任意两种向量范数是等价的
- 任意两种矩阵范数均等价（具体参考下面矩阵范数的相关理论）
- 范数的连续性
- 矩阵范数
- 若是上的一个非负实函数和向量范数，且有
- 矩阵的范数、范数、范数改记为
- 矩阵范数和向量范数的相容
- ，有
- 上每种向量范数都存在上相容的矩阵范数
- 上每种矩阵范数都存在上相容的向量范数
- 由向量范数诱导的矩阵范数
- 复数域矩阵范数的下界
- 线性变换的范数
- 设，定义
- 该范数和中的向量范数相容
- 若，则改向量范数是矩阵范数，满足次乘性
- 线性变换的连续性
- 设。对于任意，使得中任意满足的向量，都有，则连续
- 有限维赋范线性空间的线性变换是连续的
矩阵序列和矩阵级数
- 向量序列的极限
- 按范数收敛
- 设是维赋范线性空间，是的一个向量序列，是常序列。若，则向量序列在意义下收敛，极限为
- 记作
- 按坐标收敛
- 维向量的序列收敛序列的向量的每个坐标构成的数列（共个）都收敛
- 矩阵按范数收敛和按坐标收敛是等价的
- 矩阵序列极限的四则运算法则
- 若，则
- 若，则对于中任意范数，有界
- 若，且及存在，则
- 矩阵的幂收敛
- 定义
- 相关定理或结论
- 若两矩阵相似，则两矩阵有着相同的幂收敛性
- 矩阵和其Jordan标准形有着相同的幂收敛性
- 设矩阵，则矩阵幂收敛的任一特征值满足，且时对角线为的Jordan块都是一阶的
- 矩阵幂收敛（即）序列收敛
- 若矩阵的某个矩阵范数小于，则矩阵幂收敛，可逆且
- 矩阵的级数
- 定义：若矩阵序列收敛于，则称矩阵级数收敛于
- 矩阵级数相关性质
- 矩阵幂级数的收敛问题
- 引理：Jordan块的幂级数
- 设是对角线为的阶Jordan块，是收敛半径为的幂级数，则当，矩阵幂级数收敛
- 此时
- Lagrange-Sylvester定理
- 设是收敛半径为的幂级数，矩阵，其中，，，，则矩阵幂级数收敛
- 此时
矩阵函数的导数和积分
- 矩阵的函数
- 利用Lagrange-Sylvester定理，可以使用矩阵的幂级数定义矩阵的函数，比如
- 设单纯矩阵的谱分解为，的谱半径小于幂级数的收敛半径，则
- 的基本性质
- 矩阵的正弦函数和余弦函数相关结论
- 函数矩阵或矩阵函数
- 定义
- 极限的定义
- 极限的四则运算（设，）
- 连续性、可微性、可积性的定义
- 若函数矩阵的每一元素在一个点或区间是连续的，则该函数矩阵在该点或区间是连续的
- 若函数矩阵的每一元素在一个点或区间是可微的，则该函数矩阵在该点或区间是可微的，
- 若函数矩阵的每一元素在一个点或区间是可积的，则该函数矩阵在该点或区间是可积的，
- 求导和积分相关性质
矩阵函数的计算
- 函数在方阵的谱上的数值
- Sylvester矩阵定理
- 待定系数法计算矩阵函数
- 设的最小多项式为，且设的次数是，所以由幂级数定义矩阵函数都可以用次数不超过的多项式表示，不妨设
- 根据Sylvester矩阵定理列方程组解方程组即可。
- Lagrange插值法
- 将数值分析中Lagrange插值法引入到矩阵计算中，得到了公式化的计算矩阵函数的方法
- 具体公式见教材，这里只介绍无重根的情况
- 设方阵的最小多项式为无重根，为任一收敛半径的幂级数，则
- 其中是Lagrange插值多项式
自变量为矩阵的函数的导数
- 雅可比矩阵
- 海森矩阵
- 设是元二次可微映射，则其梯度是的映射，从而定义的Hessian矩阵
线性常微分方程
- 定解问题的线性常系数齐次方程组
- 定解问题的线性常系数非齐次方程组
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