注：本章讨论的矩阵默认是复数矩阵
Schur三角化定理
- Schur（酉）三角化定理
- 设
，则存在酉矩阵 ，使得 是一个上三角矩阵
- 设
- 分块对角化引理
- 引理：设
是 上的任意上三角矩阵， 。设 ，则 是和 主对角线相同的上三角矩阵 - 若
，可取适当的 使得
- 证明：
把 的第 行的 倍加到第 行 把 的第 列的 倍加到第 列 - 所以不改变对角线，且还是上三角矩阵
- 引理：设
- 分块Schur三角化定理
- 设
阶复矩阵 的特征多项式 - 其中
- 则存在可逆矩阵
使得 ， 是特征值均为 的 阶上三角矩阵
- 其中
- 设
- Cayley-Hamilton定理
- 定理：设矩阵
的特征多项式为 ，则 - 证明
- 设
- 考虑到，若
是 阶严格上三角矩阵则 - 所以
的第 个块 是 阶 矩阵，从而整个乘积是
- 设
- 意义
- 该定理表明
的 次幂可由较低次幂线性组合给出，这提供了计算高次幂的降幂算法 - 从线性空间的角度可以理解为，
- 该定理表明
- 定理：设矩阵
- Sylvester降幂公式（特征多项式的降阶公式）
- 设
，则 - 可以理解为，
和 的非零特征值相同，只差 个 特征值
- 设
- 最小多项式相关定义
- 零化多项式
是 阶矩阵， 是多项式 - 若
，则 是 的零化多项式
- 最小多项式
的次数最低的首一零化多项式是 的最小多项式 - 记为
或
- 零化多项式
- 最小多项式相关性质
- 最小多项式存在且唯一
- 特征多项式就是零化多项式，故最小多项式的次数不超过
的阶数 - 设
是 最小多项式， 是 的任意零化多项式，则 ，特别的， - 证明：考虑到
，则 ，又 次数低于 ，故 ，从而
- 证明：考虑到
是任意方阵， 是 的最小多项式，设 ，则 是 特征值 - 左推右：
是特征值，设 是该特征值的特征向量，则 ，从而 - 右推左：
说明 是最小多项式的零点，也是特征多项式的零点，故为特征值
- 左推右：
- 分块对角矩阵的最小多项式等于各子块最小多项式的最小公倍式，特征多项式等于各子块特征多项式的乘积
- 相似矩阵具有相同的最小多项式
- 最小多项式和矩阵对角化
- 矩阵
可对角化的充要条件 的最小多项式没有重根
- 必要性
- 考虑到相似矩阵具有相同最小多项式
- 因为相似对角化后的矩阵的最小多项式没有重根，所以
的最小多项式也没有重根
- 充分性
- 教材使用数学归纳法证明，此处略
- 推论
- 设方阵
， 无重因式，若 ，考虑到 ，则 也无重因式，从而 可以对角化
- 设方阵
- 矩阵
- 线性变换的特征值和特征向量
- 设
是有限维线性空间， ， 是 在某组基下的矩阵 - 则
的特征值、特征值重数、可对角化条件和 完全相同
- 则
- 设
Jordan标准形
阶幂零Jordan块 - 也叫
阶幂零块，或 阶标准幂零矩阵
- 也叫
的性质 是第 个元素为 ，其余元素为 的标准列向量 规定为 向量
- 幂零矩阵的Jordan标准形定理
- 定理：设
是 阶严格上三角复矩阵，则存在可逆矩阵 和正整数 ， ，使得 称为幂零Jordan矩阵，是矩阵 的Jordan标准形（唯一）
- 推论：设
和 是两个 阶幂零矩阵，则 和 相似
- 定理：设
阶 -Jordan块 - 一般矩阵的Jordan标准形定理
- 定理：设
是 阶复矩阵，则存在可逆矩阵 和正整数 ， ，使得 称为Jordan矩阵，是矩阵 的Jordan标准形（唯一） - 注：各
可能相同
- 推论：方阵
可以对角化 的Jordan标准形是对角矩阵
- 定理：设
- 最大Jordan块
- 设
是严格上三角矩阵，则其Jordan标准形的Jordan块的阶数的最大值等于其幂零指数
- 设
- 广义特征向量
的非零解 - 广义特征向量和零向量构成
的子空间，即广义特征子空间或根子空间
- 广义特征向量和零向量构成
- 计算Jordan标准形的定理
- 设
阶严格上三角矩阵 的Jordan标准形 ， 的幂零指数为 ， 的零度为 ， 中 阶Jordan块的个数为 ，则 中Jordan块的个数 等于 的零度（ 解空间的维度）
- 设
阶矩阵 的Jordan标准形 ， 为 的一个特征值，记 的最小多项式中 的重数为 ， 的零度是 ， 中对角线元素为 的 阶Jordan块的个数为 ，则 关于 的Jordan块的最大阶数 中对角线为 的Jordan块的个数等于
- 设
盖尔圆定理：特征值的估计
- 盖尔圆盘
是 阶复数矩阵 是 的第 行的去心绝对行和 )是矩阵 的第 个圆盘
- 盖尔区域
- 盖尔圆盘定理
- 设
的 阶矩阵，则其特征值 至少满足下述不等式之一 - 即矩阵
的每个特征值都落在 的某个圆盘内，
- 设
- 精细圆盘定理
- 设
是盖尔区域的一个由 个圆盘组成的连通分支，则 中恰好有 个特征值 - 推论
- 设
阶矩阵 的主对角线元素均为实数， 的特征多项式是实系数多项式。若 的每个盖尔圆盘都和其余圆盘分离，则 的特征值均为实数
- 设
- 设
- 缩小圆盘半径
- 一般进行相似变换，令
，通过 - 此时特征值和圆盘中心（对角线元素）不变，盖尔圆盘半径可以缩小，从而提高估计的精度
- 一般进行相似变换，令
- 特征值的上限
- 设
是 阶复矩阵，则 - 推论于盖尔圆盘定理
- 考虑到转置不改变特征值，所以也有
- 设
- Ostrowski圆盘定理
- 设
的 阶矩阵，则其特征值 至少满足下述不等式之一
- 设
- Brauer定理
- 设
的 阶矩阵，则其特征值 至少满足下述不等式之一 - 不能推广到更多盖尔圆盘方程相乘的情形
- 设
