【知识总结】正规矩阵与矩阵的分解

注：本章讨论的矩阵默认是复数矩阵

正规矩阵

正规矩阵
- 可以进行酉对角化的矩阵
  - 存在酉矩阵，使得是对角矩阵
正规矩阵判断相关定理
- 矩阵是正规矩阵
  - 注：若矩阵既是正规矩阵又是三角矩阵，则矩阵是对角矩阵
- 矩阵是正规矩阵有个两两正交的单位特征向量
  - 正规矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交
正规矩阵的相关特性
- 设复矩阵的特征值为
  - Schur不等式
  - 是正规矩阵
实正规矩阵相关定义和定理
- Schur型
- 设是阶实矩阵，则是正规矩阵存在正交矩阵，使得
  - 其中是一阶实矩阵或Schur型
实矩阵相关结论（设是阶实矩阵）
- 是对称矩阵存在正交矩阵，使得是对角矩阵
- 是反对称矩阵存在正交矩阵，使得
  - 其中
  - 反对称矩阵的非零特征值是纯虚数
- 是正交矩阵存在正交矩阵，使得
  - 其中是二阶Givens旋转矩阵
  - 正交矩阵的特征值的模均为
复矩阵相关结论（设是阶复矩阵）
- 是Hermite矩阵存在酉矩阵，使得是实对角矩阵
- 是反Hermite矩阵存在酉矩阵，使得是纯虚数对角矩阵
- 是酉矩阵存在酉矩阵，使得是对角元素的模均为的对角矩阵
  - 从而酉矩阵的特征值的模均为
- Hermite矩阵B正定的所有顺序主子式均大于

三角分解的定义
- 设是阶矩阵，如果存在上三角矩阵与单位下三角矩阵使得，则称有三角分解，或分解
三角分解的唯一性定理
- 设是阶可逆矩阵，并且有三角分解，则该分解唯一，且
Cholesky分解定理
- 实正定矩阵必有三角分解，且存在唯一的对角元素均为正的下三角矩阵，使得
  - 矩阵称为Cholesky三角，该分解即Cholesky分解
可逆矩阵三角分解的存在性
- 定理：设是阶可逆矩阵，则存在三角分解的所有顺序主子式非零
  - 此时存在唯一的一对单位下三角矩阵和单位上三角矩阵与对角矩阵，使得，这里和的顺序主子式完全相同
- 推论
  - 阶矩阵的前个顺序主子式均非零，则存在三角分解

矩阵的正交三角分解（分解）
- 设，且是满秩的，则存在唯一的酉矩阵和对角线元素都大于零的上三角矩阵，满足
  - 本质上，即对的各列向量作施密特正交化，然后单位化，作为的各列
  - 考虑到是实满秩矩阵时，上述是正交矩阵，一般写为，所以分解也称为分解
  - 考虑到酉矩阵的行列式的模是，所以
矩阵的薄分解
- 设，且是列满秩的，则存在唯一的分解
  - 其中的个列向量构成一组标准正交向量组，为对角线元素大于零的上三角矩阵
QR分解的应用：最小二乘解
- 设的正交三角分解为，则的最小二乘解为