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基本性质和例子
定义
- 函数是凸的
- 函数是严格凸的
- 函数是凹的
- 函数是严格凹的
拓展值延申
一阶条件
- 若可微，即在开集内处处存在
- 则是凸函数是凸集且，下式成立
- 则是严格凸函数是凸集且，下式成立
二阶条件
- 若二阶可微，即对于开集内任意一点，它的Hessian矩阵或二阶导数存在
- 则是凸函数的充要条件是
- 则是严格凸函数的充分不必要条件是
例子
- 线性函数和仿射函数
- 指数函数
- 幂函数
- 绝对值幂函数
- 对数函数
- 负熵
- 在其定义域上是凸函数
- 定义域是或，当，定义函数值为
- 范数
- 最大值函数
- 二次-线性分式
- 指数和的对数
- 几何平均
- 对数-行列式
凸性的证明
- 验证定义的不等式
- 验证海森矩阵半正定
- 验证函数转换到与定义域相交直线上后的单变量函数的凸性
下水平集
- 定义
- 性质
- 凸集的判断
- 若某集合可以描述为凸函数的下水平集或凹函数的上水平集，则是凸集
上境图
- 函数的图像
- 函数的上境图
- 凸集和凸函数的联系
- 一个函数是凸函数，当且仅当其上境图是凸集
- 一个函数是凹函数，当且仅当其亚图是凸集
Jensen不等式及其拓展
- 琴生不等式
- 拓展至凸组合
- 拓展至积分
- 拓展至期望
- 若是随机变量，事件的概率是，是凸函数，则相应期望存在时，有下式成立
不等式
- 琴生不等式和凸性构成不等式理论的基础，可以得到很多著名不等式
保凸运算
- 非负加权求和
- 凸函数的集合是凸锥：凸函数的非负加权求和仍是凸函数
- 复合仿射映射
- 逐点最大和逐点上确界
- 是凸函数，则逐点最大函数是凸函数
- 关于是凸的，则逐点上确界关于是凸的
- 逐点上确界提供了建立函数凸性的方法
- 将函数表示为一族仿射函数的逐点上确界，则该函数是凸函数
- 几乎所有的凸函数都可以表示成一族仿射函数的逐点上确界
- 复合
- 对复合函数进行二次微分，使用凸性的二阶条件进行判断
- 若定义域不是整个时要用到凸函数的拓展值延申
- 最小化
- 透视函数
共轭函数
- 定义
- 设，定义函数为
- 在上有上界
- 考虑到是一系列的凸函数的逐点上确界，所以无论是不是关于的凸函数，都有是关于的凸函数
- 若是凸函数，则的下标可以去掉，因为凸函数可以拓展值延申
- 性质
- Fenchel不等式
- 共轭的共轭
- 可微函数
- 可微函数的共轭成为Legendre变换，一般函数的共轭称为Fenchel共轭
- 设是可微的凸函数，定义域，则在取最大值
- 伸缩变换
- 复合仿射变换
- 独立函数的和
拟凸函数
- 定义
- 函数是拟凸函数（单峰函数）
- 函数是拟凹函数
- 函数是拟线性函数
- 定义域及所有水平集都是凸集
- 拟线性函数既是拟凸又是拟凹
- 性质
- 拟凸函数的Jensen不等式
- 可微函数拟凸的一阶条件
- 可微函数拟凸的二阶条件
- 设二阶可微
- 函数是拟凸函数的充要条件是
- 对于定义在上的拟凸函数，上述条件简化为
广义不等式的凸性
- 广义不等式的单调性（设是一个正常锥，相应广义不等式为）
- 广义不等式的凸性（设是一个正常锥，相应广义不等式为）
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