吴紫航

z变换与反变换

z变换定义

• 双边z变换
• 单边z变换
  • • 是复变量，上同
    • 对于因果信号，单边z变换和双边z变换相等，否则不等

z变换与傅里叶变换

• 令
  • • 当，序列z变换就是傅里叶变换

拉普拉斯变换

傅里叶变换推广为拉普拉斯变换

• 基底信号从推广成
  • 其中为复平面上的值
  • 当为纯虚数拉普拉斯变换退化为傅里叶变换
• 拉普拉斯变换定义
  • 定义初衷
    • 时不满足绝对可积条件，此时原信号不存在傅里叶变换
  • 正变换
    • 把乘以衰减因子再傅里叶变换（令）
  • 逆变换
    • 对做逆傅里叶变换，
    • 故
    • 可以看出逆变换的积分路径是复平面的一条直线
• 符号表示
• 物理意义
  • 信号可以分解成的线性组合
  • 是复频率，是复频谱

单边拉普拉斯变换

对于因果系统，单边拉普拉斯变换更方便，本节后续主要考虑单边的拉普拉斯变换

连续时间LTI系统的频率响应

• 虚指数信号通过连续系统的零状态响应
  • 在第三章引言中推导过
• 任意非周期信号通过连续系统的零状态响应
  • 假设表示系统输入到输出的映射
  • 通过傅里叶变换把任意时域信号分解为虚指数信号的线性组合表示
  • 又因为
  • 所以
    • 记，是输出信号的频谱
• 连续系统的频率响应
  • 原理：系统把频谱为的输入改变成频谱为的响应
  • 的幅度和相位称作幅度响应和相位响应
  • 求解方法
    • 冲激响应的频谱，即
    • 信号通过系统后的频谱变化，即
• 系统零状态响应两种求解方法的联系
  • 时域卷积积分方法
  • 频域分析法
  • 本质是傅里叶变换的时域卷积定理

无失真系统与理想低通滤波器

• 无失真传输系统
  • 输入信号为，则输出信号为
    • 是常数，是输入信号通过系统后的延迟时间
  • 时域特性
  • 频域特性
    • 幅度响应，在整个频率范围内是，带宽无穷大
    • 相位响应，在整个频率范围内与成正比
• 滤波器
  • 能使信号一部分频率通过，另一部分频率通过很少的系统
• 理想低通滤波器
  • • 的波形是取样函数，有失真，因为理想低通滤波器是带限系统
    • 增加理想低通截频，的主瓣宽度减小，极限情况变成冲激函数
    • 在的区间存在输出，说明理想低通滤波器是非因果系统，物理上不可实现

信号的重建

向量与矩阵的范数

• 赋范空间
  • 设或，是上的一个线性空间。若的函数满足下列性质，则是赋范空间
    • 正定性：且
    • 齐次性：有
    • 三角不等式：有
  • 是向量的向量范数
• 常见向量范数
  • • 最大范数、范数、范数
  • • 和范数、范数、范数
  • • 欧几里得范数、范数
  • • Holder范数、范数、范数
• 常见矩阵的向量范数（把矩阵看作向量）
  • • Frobenius范数、范数
  • • 极大列和范数
  • • 极大行和范数
• 使用向量范数构造向量范数
  • 设是上的向量范数，是列满秩矩阵，则是上的向量范数
• 范数的等价性
  • 有限维线性空间上任意两种范数等价的充要条件有
    • 存在常数，使得对于有
    • 存在正的常数，使得对于有
  • 有限或无限维线性空间上任意两种范数等价的充要条件有
    • 对于中任意向量序列和，两个范数有相同的敛散性，即
  • 有限维线性空间的任意两种向量范数是等价的
  • 任意两种矩阵范数均等价（具体参考下面矩阵范数的相关理论）
• 范数的连续性
  • 有限维线性空间的向量范数是向量坐标的连续函数
• 矩阵范数
  • 若是上的一个非负实函数和向量范数，且有
    • 则称是上的矩阵范数
  • 矩阵的范数、范数、范数改记为
• 矩阵范数和向量范数的相容
  • ，有
    • 上每种向量范数都存在上相容的矩阵范数
    • 上每种矩阵范数都存在上相容的向量范数
• 由向量范数诱导的矩阵范数
  • 诱导理解为构造、表示、定义
• 复数域矩阵范数的下界
  • ，为的任意一种矩阵范数，则
• 线性变换的范数
  • 设，定义
    • 该范数和中的向量范数相容
    • 若，则改向量范数是矩阵范数，满足次乘性
• 线性变换的连续性
  • 设。对于任意，使得中任意满足的向量，都有，则连续
  • 有限维赋范线性空间的线性变换是连续的

矩阵序列和矩阵级数

• 向量序列的极限
  • 按范数收敛
    • 设是维赋范线性空间，是的一个向量序列，是常序列。若，则向量序列在意义下收敛，极限为
    • 记作
  • 按坐标收敛
    • 维向量的序列收敛序列的向量的每个坐标构成的数列（共个）都收敛
  • 矩阵按范数收敛和按坐标收敛是等价的
    • 是的矩阵序列，是的任意向量范数，则
• 矩阵序列极限的四则运算法则
  • 若，则
    • ，其中为可逆阵
  • 若，则对于中任意范数，有界
  • 若，且及存在，则
• 矩阵的幂收敛
  • 定义
    • 矩阵幂收敛指的是矩阵序列收敛
  • 相关定理或结论
    • 若两矩阵相似，则两矩阵有着相同的幂收敛性
    • 矩阵和其Jordan标准形有着相同的幂收敛性
    • 设矩阵，则矩阵幂收敛的任一特征值满足，且时对角线为的Jordan块都是一阶的
    • 矩阵幂收敛（即）序列收敛
    • 若矩阵的某个矩阵范数小于，则矩阵幂收敛，可逆且
• 矩阵的级数
  • 定义：若矩阵序列收敛于，则称矩阵级数收敛于
    • 记为
    • 否则称发散
  • 矩阵级数相关性质
    • 若收敛，则
    • 若，则，
• 矩阵幂级数的收敛问题
  • 引理：Jordan块的幂级数
    • 设是对角线为的阶Jordan块，是收敛半径为的幂级数，则当，矩阵幂级数收敛
    • 此时
  • Lagrange-Sylvester定理
    • 设是收敛半径为的幂级数，矩阵，其中，，，，则矩阵幂级数收敛
    • 此时

矩阵函数的导数和积分

注：本章讨论的矩阵默认是复数矩阵

正规矩阵

• 正规矩阵
  • 可以进行酉对角化的矩阵
    • 存在酉矩阵，使得是对角矩阵
• 正规矩阵判断相关定理
  • 矩阵是正规矩阵
    • 注：若矩阵既是正规矩阵又是三角矩阵，则矩阵是对角矩阵
  • 矩阵是正规矩阵有个两两正交的单位特征向量
    • 正规矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交
• 正规矩阵的相关特性
  • 设复矩阵的特征值为
    • Schur不等式
    • 是正规矩阵
• 实正规矩阵相关定义和定理
  • Schur型
  • 设是阶实矩阵，则是正规矩阵存在正交矩阵，使得
    • 其中是一阶实矩阵或Schur型
• 实矩阵相关结论（设是阶实矩阵）
  • 是对称矩阵存在正交矩阵，使得是对角矩阵
  • 是反对称矩阵存在正交矩阵，使得
    • 其中
    • 反对称矩阵的非零特征值是纯虚数
  • 是正交矩阵存在正交矩阵，使得
    • 其中是二阶Givens旋转矩阵
    • 正交矩阵的特征值的模均为
• 复矩阵相关结论（设是阶复矩阵）
  • 是Hermite矩阵存在酉矩阵，使得是实对角矩阵
  • 是反Hermite矩阵存在酉矩阵，使得是纯虚数对角矩阵
  • 是酉矩阵存在酉矩阵，使得是对角元素的模均为的对角矩阵
    • 从而酉矩阵的特征值的模均为
  • Hermite矩阵B正定的所有顺序主子式均大于

正规矩阵的谱分解

• 正规矩阵的谱分解或特征值分解
  • 设是正规矩阵，则存在酉矩阵，使得
  • 若把上述分解的零特征值项去掉，再把系数相同的项合并，则公式变为
    • 其中是的互不相同的特征值
  • 几何意义
    • ，其中彼此正交
    • 平面的正交分解
• 单纯矩阵
  • 阶可对角化矩阵，存在可逆矩阵使得
    • 也有类似于正规矩阵的谱分解，详见下面的谱分解定理
• 谱分解定理
  • 设是单纯矩阵，的谱为，其中的重数是，则存在唯一的一组个阶方阵满足下述条件，这些矩阵称为矩阵的谱分解的成分矩阵或主幂等矩阵
  • 对比正规矩阵
    • 单纯矩阵的谱分解不一定有，故中的各不一定正交
  • 推论
    • 设单纯矩阵的谱分解为，则，故对于任意多项式有