吴紫航

安全目标

• 机密性
  • 防止信息非授权泄露
• 完整性
  • 防止信息非授权修改
• 可用性
  • 信息及时可靠的访问使用

攻击

攻击类型

• 危害机密性
  • 侦听：非授权实体访问或拦截信息
  • 流量分析：通过监控在线流量来获取其他信息
• 危害完整性
  • 篡改：拦截到信息之后攻击者对信息进行修改
  • 伪装：假装成别的实体
  • 重放：获得的消息再次发送
  • 否认：发送者否认曾经发送过信息或接收者否认曾经接收过信息
• 危害可用性
  • 拒绝服务攻击：减慢或中断系统的服务

• 数据抽象
  • 数据的使用者只需要知道对数据的操作和操作间的关系，不需要知道数据具体形式
• 数据封装
  • 把数据和操作作为整体实现，使用者通过接口对数据操作，不需要知道数据具体形式
• 对象
  • 数据和操作的封装体
• 类
  • 描述了对象的特征（包含的数据和操作）
• 继承
  • 定义子类，把父类的特征先包含进来
• 多态性（论域元素有多个解释）
  • 一名多用
    • 函数名重载
    • 操作符重载
  • 类属性
    • 类属函数：一个函数可以对多个类型的数据操作
    • 类属类型：一个类型可以描述多种类型的数据
• 绑定：确定多态元素的使用是多态元素的哪一种
  • 静态绑定
    • 编译时决定
  • 动态绑定
    • 运行时决定
• this指针
  • 类的成员函数的隐藏形参
  • 类型为该类对象的指针

程序的本质

• 程序 = 算法 + 数据结构
• 程序用数据类型描述数据，用流程控制语句实现算法

数据类型

• 值集：规定数据类型包含的值和值结构
• 操作集：规定对值集的值的运算
• 区分数据类型便于检查合法性
  • 静态类型语言：编译时检查数据类型
  • 动态类型语言：运行时检查数据类型

c++数据类型

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
• 笔记为个人整理，禁止商业用途
• 如有疏漏，欢迎留言

可分离变量微分方程

• 形式：和可分离到等式两侧
• 方法：分离变量至两次后，两端积分即可

齐次微分方程

• 形式：
• 思路：换元令
• 注意：所有的换元操作在解出微分方程后都需要把原变量带回去，结果中的变量必须是原始的

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理解铺垫

• 无穷级数和数列的区别
  • 无穷级数本质是一个数，这个数的表达形式是无穷个数的和（加号连接每一项）
  • 数列本质是无穷个数，这无穷个数的表达形式是无穷个数的排列（逗号连接每一项）
• 无穷级数和数列的联系
  • 两者存在1对1的映射关系，级数和数列的第n项指的是同一个数
  • 经常用数列中的理论解决无穷级数问题。比如：级数收敛等价于，级数所对应数列的前n项和（也是一个数列）在无穷处收敛
  • 后面在表述中，在没有歧义的情况下，把“级数所对应数列”表述为“数列”

常数项级数

正项级数敛散性

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重积分

二重积分

• 性质：和一元积分类似，有保号性和中值定理
• 计算：直角坐标、极坐标，注意用合适的积分次序计算累次积分
• 技巧1：根据积分域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算
  • 情况一：积分域关于坐标轴对称，被积函数有奇偶性
    • 积分等于或两倍的半积分域上的积分
  • 情况二：积分域关于对称（即积分域表达式调换不改变积分域）
    • 被积函数调换不改变积分结果
  • 其他情况：对称性也可以不是关于坐标轴，而是平行于坐标轴的直线
• 技巧2：极坐标的极点也可以不选在原点
• 技巧3：利用形心
  • 本质还是利用对称性

三重积分

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基本概念

• 重极限
  • 含义：以在平面上任何路径趋近某个点时，都有相同极限
  • 证明极限不存在：找到某个路径，其极限不存在，或某两个路径极限不相等
  • 证明极限存在：证明所有路径都有极限，且极限都相等
  • 求解：运算化简、转化为一元函数、用等价无穷小代换、夹逼准则等
• 连续性
  • 极限值等于函数值
• 偏导数求解
  • 一般分段函数需要按定义求解
  • 用导数公式法求解出的实际上是偏导数的极限
• 微分
  • 充要条件
    • 体现了微分形式的不变性
  • 必要条件
    • 某点处两个偏导数存在（只考虑了部分的方向）
    • 某点处连续
  • 充分条件
    • 某点处两个偏导数连续

多元微分法则

• 复合函数偏导数
  • 绘制树形图
    • 对变量求偏导，结果是多个项的和
    • 每个项都是多个导数的乘积，对应一条从根到叶的路径
    • 路径上的结点有多个孩子，则求偏导，有一个孩子则求导
• 高阶偏导数
  • 把偏导数看出多元函数，继续求解即可
• 混合偏导数次序无关条件
  • 当两个混合偏导数在某点连续，则在该点两个混合偏导数相等
• 隐函数方程组的求导
  • 首先绘制树形图，明确变量的对应关系，便于开展求导过程
  • 方程式左右两边同时求偏导，解出即可
• 求带参数的全微分的原函数
  • 偏积分：分别用两个偏导数直接计算出原函数，再令其相等
  • 利用
    • 首先使用微分充要条件，即是偏导数
    • 然后使用混合偏导数次序无关条件，需要检查的连续性

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叉乘和混合积

• • 大小对应两个向量合成的平行四边形的面积
• • 大小对应三个向量合成的平行六面体的体积

平面和直线

• 平面
  • 通过梯度计算，得到是法向量
• 直线
  • 通过定义法，得到是方向向量，要求不是零向量
• 平面间位置关系
  • 利用法向量
• 直线间位置关系
  • 利用方向向量
• 平面和直线的位置关系
  • 利用法向量和方向向量
• 点到平面的距离
  • 本质是把点和平面上某点相连，利用数量积求出连成的向量在法向量上的投影
• 点到直线的距离
  • 把点和直线上某点相连，利用向量积求出连成的向量在垂直于方向向量上的投影
• 平面直线的距离
  • 用点到直线的距离来求
• 异面直线的距离
  • 在两个直线上分别取点连成向量，把混合积（两个方向向量和连成的向量）的大小除以两个方向向量叉乘的大小
  • 本质上平行六面体体积除以底面的面积，就是高度，即异面直线的距离

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原函数和不定积分

• 原函数
  • 若存在，使得，则是的原函数
  • 是的原函数一般形式
• 不定积分
  • 原函数的一般形式即不定积分
  • 记为
• 原函数存在性（不定积分存在性）
  • 函数闭区间连续，则存在闭区间的原函数
  • 函数闭区间，若间断点只有振荡间断点，则存在闭区间的原函数

定积分

• 定积分
  • 分割、乘积、求和、取极限，若极限存在，则该极限为定积分
• 定积分存在性
  • 函数闭区间连续，则存在该区间上的定积分
  • 函数闭区间有界，间断点有限，则存在该区间上的定积分
• 不定积分和定积分的关系
  • 存在性互不相关
  • 若函数闭区间连续，则不定积分和定积分都存在
    • 定积分表示原函数（变上限积分）：
    • 原函数表示定积分（牛顿-莱布尼兹定理）：
  • 若函数闭区间有一个跳跃间断点，其余位置连续，设
    • 分析1：根据存在性判定，闭区间不存在原函数，但存在定积分，说明存在某些位置不可导，或
    • 结论1：闭区间连续
    • 结论2：非间断位置，
    • 结论3：间断位置，
    • 分析2：间断点是跳跃间断点，则不可导
    • 分析3：间断点如果改成可去间断点，则（不一定严谨，因为不清楚前面结论是否还成立）
• 定积分的性质
  • 在上面性质基础上，若闭区间连续且
  • 积分中值定理
    • 见第二章的中值定理体系

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微分

• 可微可导连续
• 反函数的导数
• 变限积分求导
• 参数式求导
• 隐函数求导
  • 两边同时微分再除以
• 反函数求导
  • 一阶：
  • 二阶：按导数定义，用微分计算法则求解即可

导数的应用

• 单调性
  • 严格单调：没有常数区间的单调
  • 单调：在常数区间外，单调
• 极值
  • 必要条件：若可导，则导数为0
  • 充分条件一：极值点处连续、去心邻域内可导、左右侧导数异号
  • 充分条件二：极值点处二阶可导，且一阶导为0，二阶导不为0
• 可疑极值（所有可能是极值的点）
  • 驻点
  • 不可导点
• 凹凸性
  • 定义：弦在弧上方是凹，弦在弧下方是凸
    • 数分的定义刚好反过来
  • 判断：要求一阶导没有常数区间，此时二阶导非正为凸、非负为凹
• 拐点
  • 定义：凹凸的分界点
  • 必要条件：若可二阶导，则二阶导为0
  • 充分条件一：拐点处连续、去心邻域内可二阶导、左右侧二阶导异号
  • 充分条件二：拐点处三阶可导，且二阶导为0，三阶导不为0
• 驻点
  • 导数为0的点
• 最值
  • 闭区间问题
    • 求内部的可疑极值点的函数值
    • 求两端点的函数值
    • 取其中最大者为最大值，最小者为最小值
  • 应用问题
    • 建模求解即可
• 渐近线
  • 水平渐近线
    • 正无穷或负无穷处的渐近线，若重合只能算一条
  • 铅直渐近线
    • 某个极限为无穷的点的渐近线
  • 斜渐近线
    • ，则有斜渐近线
• 曲率
• 曲率半径
  • 曲率的倒数
• 曲率圆中心
  • 按递增的凹函数的情况推导，用曲率半径表达出通用公式
    • 曲率圆中心相对于函数点的位置，横坐标减，纵坐标加，且二阶导为正