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【知识总结】 第二章-一元函数微分学

  • 本知识总结不提供完整的理论体系汇总,旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架
  • 笔记为个人整理,禁止商业用途
  • 如有疏漏,欢迎留言

微分

  • 可微可导连续
  • 反函数的导数
  • 变限积分求导
  • 参数式求导
  • 隐函数求导
    • 两边同时微分再除以
  • 反函数求导
    • 一阶:
    • 二阶:按导数定义,用微分计算法则求解即可

导数的应用

  • 单调性
    • 严格单调:没有常数区间的单调
    • 单调:在常数区间外,单调
  • 极值
    • 必要条件:若可导,则导数为0
    • 充分条件一:极值点处连续、去心邻域内可导、左右侧导数异号
    • 充分条件二:极值点处二阶可导,且一阶导为0,二阶导不为0
  • 可疑极值(所有可能是极值的点)
    • 驻点
    • 不可导点
  • 凹凸性
    • 定义:弦在弧上方是凹,弦在弧下方是凸
      • 数分的定义刚好反过来
    • 判断:要求一阶导没有常数区间,此时二阶导非正为凸、非负为凹
  • 拐点
    • 定义:凹凸的分界点
    • 必要条件:若可二阶导,则二阶导为0
    • 充分条件一:拐点处连续、去心邻域内可二阶导、左右侧二阶导异号
    • 充分条件二:拐点处三阶可导,且二阶导为0,三阶导不为0
  • 驻点
    • 导数为0的点
  • 最值
    • 闭区间问题
      • 求内部的可疑极值点的函数值
      • 求两端点的函数值
      • 取其中最大者为最大值,最小者为最小值
    • 应用问题
      • 建模求解即可
  • 渐近线
    • 水平渐近线
      • 正无穷或负无穷处的渐近线,若重合只能算一条
    • 铅直渐近线
      • 某个极限为无穷的点的渐近线
    • 斜渐近线
      • ,则有斜渐近线
  • 曲率
  • 曲率半径
    • 曲率的倒数
  • 曲率圆中心
    • 递增凹函数的情况推导,用曲率半径表达出通用公式
      • 曲率圆中心相对于函数点的位置,横坐标,纵坐标,且二阶导为

中值定理体系

  • 费马定理
    • 内容:极值点处,若可导,则导数为0
    • 证明:以极大值为例,左导数大于等于0,右导数小于等于0,故导数等于0
  • 罗尔定理
    • 内容:闭区间连续,开区间可导,两端相等,则开区间内有驻点
    • 证明
      • 若开区间内为常数,则有驻点
      • 否则根据闭区间连续,得出开区间内有最值点,显然是极值点;又开区间内可导,根据费马定理,极值点为驻点
  • 拉格朗日中值定理
    • 内容:闭区间连续,开区间可导,开区间内存在一个点的斜率,等于两端连线的斜率
    • 证明
      • 构造函数,构造思路是对积分
      • 验证构造函数在两端相等,结合罗尔定理即可
  • 柯西中值定理
    • 内容:两个函数都闭区间连续,开区间可导,,则
    • 证明
      • 构造函数,构造思路是对积分
      • 验证构造函数在两端相等,结合罗尔定理即可
  • 洛必达法则
    • 内容:当分子分母极限为0、去心邻域内分子分母导数存在且分母导数不为0、导数比值的极限存在或无穷,则
    • 证明
      • ,使得连续,又可导,则
      • 两边取极限
  • 泰勒中值
    • 佩亚诺余项:若在处n阶可导,则可在邻域内展开为
    • 拉格朗日余项:若在某邻域n+1阶可导,则在可在邻域内展开为
    • 注:前者一般用于极限计算,后者一般用于不等式证明
  • 积分中值定理
    • 内容:闭区间连续,则
    • 证明1
      • 闭区间连续,则原函数存在,可以使用牛顿莱布尼兹定理(参考第三章)
      • 即证明
      • 闭区间连续,开区间可导,用拉格朗日中值定理即可
    • 证明2
      • 放缩分子的积分式,得到
      • 因为闭区间连续,再用介值定理即可
  • 广义积分中值定理
    • 内容:闭区间连续,闭区间可积且不变号
    • 证明1(不严谨的证明,提供一种理解)
      • 闭区间不一定连续,这里不严谨的假设原函数存在,使用牛顿莱布尼兹定理
      • 根据前面不严谨的假设,闭区间连续,开区间可导,用柯西中值定理即可
    • 证明2(严谨的证明)
      • 放缩分子的积分式,得到
      • 因为闭区间连续,再用介值定理即可

不等式证明

  • 单调性法
  • 最值法
  • 拉格朗日中值定理法
  • 拉格朗日余项泰勒公式法
  • 双拉格朗日中值定理法

零点存在问题

  • 连续函数的介值定理或零点定理
  • 罗尔定理
    • 仔细体会拉格朗日中值定理和柯西中值定理的构造过程,其他的零点存在问题也是此思路
    • 构造时涉及积分,可以考虑补上等函数(求导后可以提取出公因式)

高阶导数的零点界限

  • 结论1:函数至少个零点,则其导函数至少个零点
    • 罗尔定理
  • 结论2:导函数至多个零点,则原函数至多个零点
    • 结论1 + 反证法