【知识总结】 第六章-多元函数积分学

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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重积分

二重积分

• 性质：和一元积分类似，有保号性和中值定理
• 计算：直角坐标、极坐标，注意用合适的积分次序计算累次积分
• 技巧1：根据积分域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算
  • 情况一：积分域关于坐标轴对称，被积函数有奇偶性
    • 积分等于或两倍的半积分域上的积分
  • 情况二：积分域关于对称（即积分域表达式调换不改变积分域）
    • 被积函数调换不改变积分结果
  • 其他情况：对称性也可以不是关于坐标轴，而是平行于坐标轴的直线
• 技巧2：极坐标的极点也可以不选在原点
• 技巧3：利用形心
  • 本质还是利用对称性

三重积分

• 性质：保号性、中值定理
• 计算：直角坐标、柱坐标、球坐标，注意用合适的积分次序计算累次积分
• 技巧：和二重积分同理

交换累次积分

• 二重积分：根据积分上下限确定积分域、绘制草图、按另一种次序确定积分上下限
• 三重积分：相邻的俩个变量调换积分次序，转化为多遍二重积分的次序调换

曲线积分

第一类曲线积分

• 先考虑几种情况的奇偶性和对称性，简化计算
  • 情况一：积分曲线关于坐标轴对称，被积函数有奇偶性
  • 情况二：积分曲线关于或或对称
• 直接计算步骤（核心思路是）
  • 设曲线的方程
    • 说明每个唯一对应着和，如果是参数式也要注意该点
    • 不唯一对应时，需要拆分曲线为多个段
  • 最后结果为

第二类曲线积分

• 直接计算步骤（核心思路是计算到方向向量的投影）
  • 根据积分路径的方向，确定曲线的方向向量为
    • 方向向量也可以用其方向余弦表示为
  • • 投影即数量积除以模
    • 转化为第一类曲线积分
  • 教材的形式是
    • 本质一样的，但是不引入余弦，防止思路紊乱
• 斯托克斯公式
  • 是空间光滑有向曲线，是有向曲面，两者方向满足右手法则，且在上有一阶连续偏导数
  • • 转化为第二类曲面积分
• 格林公式
  • 斯托克斯公式的特殊情况，记忆即可，推导的思路顺序如下
  • 第二类曲线积分第二类曲面积分第一类曲面积分二重积分
• 在单连通域的上一阶连续可偏导，则下面是等价条件
  • 和路径无关
  • 沿着封闭光滑曲线的第二类积分为
  • 存在可微函数使得
• 补形法结合格林公式（斯托克斯公式）
  • 当不是封闭曲线时，可以补成封闭曲线
    • 补后的整体用格林公式计算，补的形状用直接法计算
  • 当封闭曲线内有点不存在一阶连续偏导数，则可以补一个小的封闭曲线，把该点挖去
    • 补后的整体用格林公式计算，补的形状用直接法计算

曲面积分

第一类曲面积分

• 先考虑几种情况的奇偶性和对称性，简化计算
  • 情况一：积分曲面关于坐标轴对称，被积函数有奇偶性
  • 情况二：积分曲面关于或或对称
• 直接计算步骤（核心思路是或）
  • 设曲面的方程，法向量为
    • 说明每个唯一对应着，如果是参数式也要注意该点
    • 不唯一对应时，需要拆分曲面为多个部分
  • 利用
  • 或
    • 注意这里与，不难记忆
  • 最后结果为

第二类曲面积分

• 直接计算步骤（核心思路是计算到法向量的投影）
  • 根据有向曲面的内外侧，确定曲面的法向量为
    • 法向量也可以用其方向余弦表示为
  • • 投影即数量积除以模
    • 转化为第一类曲线积分
  • 教材的形式是
    • 本质一样的，但是不引入余弦，防止思路紊乱
• 高斯公式
  • 是空间光滑有向曲面，是空间闭区域，有向曲面取外侧，且在上有一阶连续偏导数
  • • 转化为三重积分
• 补形法结合高斯公式
  • 当不是封闭曲面时，可以补成封闭曲线
    • 补后的整体用高斯公式计算，补的形状用直接法计算
  • 当封闭曲面内有点不存在一阶连续偏导数，则可以补一个小的封闭曲面，把该点挖去
    • 补后的整体用高斯公式计算，补的形状用直接法计算

场论初步

设向量场是,有向曲面为

• 通量
  • 即第二类曲面积分求解
• 散度
  • 即高斯公式右侧的数值
• 旋度
  • 即斯托克斯公式右侧的向量

多元积分的应用

• 质心
• 转动惯量
• 做功
  • 设力场是,有向曲线为
  • 做功为