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- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
- 笔记为个人整理，禁止商业用途
- 如有疏漏，欢迎留言
可分离变量微分方程
- 形式：和可分离到等式两侧
- 方法：分离变量至两次后，两端积分即可
齐次微分方程
- 形式：
- 思路：换元令
- 注意：所有的换元操作在解出微分方程后都需要把原变量带回去，结果中的变量必须是原始的
一阶线性方程
- 形式：
- 思路
- 背公式
- 注意：因为是一阶微分方程，只带一个常数C，公式中的不定积分不需要带上常数
伯努利方程
全微分方程
- 形式，有一阶连续偏导数，且
- 思路：凑积分或偏积分求全微分的原函数，
对称情况
- 形式：有可能出现和的位置对调的情况
- 思路：把当，当来处理即可
可降阶的高阶微分方程
- 一般只有三种形式
- 思路分别对应如下
- 反复积分降阶
- 换元令，降阶为和的一阶方程
- 换元令，降阶为和一阶方程
线性方程解的结构
- 齐次方程
- 方程的阶数即线性无关的解个数
- 通解：阶数个线性无关的解的线性组合
- 非齐次方程：非齐次方程的通解 = 非齐次方程的一个特解 +
对应齐次方程的通解
- 叠加原理
- 用的比较少
- 指的是，已知两个非齐次微分方程的特解，则把两个非齐次方程右侧的x多项式相加后得到的非齐次方程的特解是
- 不用背，按定义很容易推导
线性常系数齐次方程
- 形式：
- 求解步骤
- 解特征方程（即k阶导换成k次方）
- 每一重实根对应着一个线性无关的解，每一重复根对对应两个线性无关的解，对应如下
- 单实根
- 重实根
- 单重复根对
- k重复根对
线性常系数非齐次方程
- 形式：
- 求解步骤
- 解对应齐次方程的通解
- 寻找一个非齐次方程的特解
- 利用线性方程解的结构，非齐次方程特解 + 齐次方程通解 =
非齐次方程通解
- 非齐次方程特解求解方法
- 已知
- 和是两个给定的次、次多项式
- 设特解为
- 为特征方程的复根对的重数
- 和是两个待定系数的次多项式
- 特解待定系数带入原微分方程，算出特解
欧拉方程
- 形式：
- 思路
- 这是关于线性微分方程，但不是常系数
- 设，则，
- 上面一条把关于的阶导数换成了关于的的阶导数。推导不难，但步骤比较繁琐，可以推但没必要，建议背下来直接使用。
- 换元后变成关于关于的线性常系数微分方程，用前面的方法求解
- 求解后把换回
已知通解求方程
微分方程应用题
- 根据题干条件思考变量之间的微分关系
- 列出微分方程
- 求解微分方程
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