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- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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基本概念
- 重极限
- 含义：以在平面上任何路径趋近某个点时，都有相同极限
- 证明极限不存在：找到某个路径，其极限不存在，或某两个路径极限不相等
- 证明极限存在：证明所有路径都有极限，且极限都相等
- 求解：运算化简、转化为一元函数、用等价无穷小代换、夹逼准则等
- 连续性
- 偏导数求解
- 一般分段函数需要按定义求解
- 用导数公式法求解出的实际上是偏导数的极限
- 微分
- 充要条件
- 必要条件
- 某点处两个偏导数存在（只考虑了部分的方向）
- 某点处连续
- 充分条件
多元微分法则
- 复合函数偏导数
- 绘制树形图
- 对变量求偏导，结果是多个项的和
- 每个项都是多个导数的乘积，对应一条从根到叶的路径
- 路径上的结点有多个孩子，则求偏导，有一个孩子则求导
- 高阶偏导数
- 混合偏导数次序无关条件
- 当两个混合偏导数在某点连续，则在该点两个混合偏导数相等
- 隐函数方程组的求导
- 首先绘制树形图，明确变量的对应关系，便于开展求导过程
- 方程式左右两边同时求偏导，解出即可
- 求带参数的全微分的原函数
- 偏积分：分别用两个偏导数直接计算出原函数，再令其相等
- 利用
- 首先使用微分充要条件，即是偏导数
- 然后使用混合偏导数次序无关条件，需要检查的连续性
极值和最值
- 驻点
- 无条件极值
- 本质：局部最值
- 必要条件：若可偏导则为0（驻点）
- 可疑极值点的求解
- 二元函数极值点的求解：设二阶偏导数为
- 有极值，为极小值，有极大值
- 没有极值
- 不确定极值情况
- 极值点的求解
- 条件极值
- 本质：给定曲线上的局部最值
- 可疑极值点的求解
- 二元函数极值点的求解：用条件消元，转化为无条件二元函数的极值
- 极值点的求解
- 闭区域最值
- 求内部的最值
- 求边界曲线的最值
- 求可疑极值（驻点）。因为是条件极值，所以用拉格朗日乘子法
- 多个边界，要考虑边界的端点
- 问题形式
- 因为极值只能用定义法求，所以问题一般是求二元函数的极值、多元函数的最值
方向导数和梯度
- 方向导数
- 本质：沿着某个方向的导数，比如偏导数是沿着坐标轴方向的导数
- 求解：若可微，则方向导数存在，可以借助两个偏导数进求方向导数
- 两个偏导数在方向上的投影的代数和
- 两个偏导数对应向量的合成（即梯度），再投影到目标方向上
- 梯度
- 本质：方向导数的最大值对应的方向向量
- 求解：各偏导数对应向量的合成
- 曲面切平面和法线
- 先求曲面的法向量，即函数的梯度方向（也可以是梯度反向）
- 再根据法向量，求出切平面和法线方程
- 曲线切线和法平面
- 先曲线的方向向量
- 再根据方向向量，求出法平面和切线方程
- 二元函数泰勒定理
- 佩亚诺余项：若在某邻域有二阶连续偏导，则在可在邻域内展开为
- 拉格朗日余项：若在某邻域有二阶连续偏导，则在可在邻域内展开为
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