吴紫航

本节是对线性代数的回顾和补充

矩阵乘法与分块矩阵

基本概念

• • 数域上的矩阵的全体
• 或
  • 全体方阵
• 或
  • 单位矩阵
• • 矩阵的共轭矩阵
    • 共轭矩阵指把矩阵每个元素都取共轭
• 或
  • 矩阵的共轭转置
  • 本体系在复数域讨论问题，伴随矩阵用表示
    • 如果只考虑实数域，伴随矩阵仍常用
• • 基本矩阵
    • 第行第列元素为，其他元素都为
• • 矩阵第行
• • 矩阵第列
• • 第个元素为1其余元素为0的列向量
• 或
  • 矩阵的行列式
• • 矩阵的迹

矩阵迹的性质

仿射集合和凸集

直线与线段

• • • 空间中两个点
  • • 穿越的直线
  • • 之间的闭线段
  • • 另一种理解形式

仿射集合

• 仿射集合基本定义
  • 对任意
• 仿射集合拓展定义
  • 仿射组合在集合中
• 子空间
  • 定义
    • ，其中是仿射集合且为中某已知点
  • 性质
    • 关于加法和数乘封闭，即
    • 与仿射集合关联的子空间与的选取无关
  • 理解
    • 这个子空间就是指线性子空间
    • 仿射空间（不一定有原点）可以看成线性子空间（一定有原点）的平移
    • 在仿射空间上任选一点，将仿射空间进行平移，使得到原点，此时仿射空间就平移成了线性空间
• 仿射集合的维数
  • 定义为对应子空间的维数
• 集合的仿射包
  • 定义
  • 性质
    • 仿射包是包含的最小的仿射集合

连续时间信号的频域分析

引言

• 信号分解的基本单元一般满足
  • 用基本单元进行线性组合可以简单表示原信号
  • 基本单元的响应容易求得
• 信号时域分解的基本单元冲激函数就满足上述条件
• 信号频域分解的基本单元是
  • 这里给出该基本单元的响应
    • 即，该基本信号只产生了系数的变化
  • 后面的内容会介绍如何把原信号频域分解成基本单元

傅里叶级数

本节介绍狭义的傅里叶级数，默认用在连续周期的时域信号

线性时不变系统的描述和特点

• 线性时不变系统即LTI系统
  • 连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述
    • ，是常数
  • 离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述
    • ，是常数
• 响应的划分
  • 自由（固有）响应和强迫响应
    • 前者取决于系统自身特性，后者取决于输入激励
    • 是数学上对特解和通解的划分
  • 暂态响应和稳态响应
    • 前者是随着增大会趋近于的项，否则是后者
  • 零输入响应和零状态响应
    • 前者是输入信号为对应的响应，后者是系统初始状态为对应的响应

连续时间LTI系统的响应

经典时域分析方法

• 微分方程法
  • 纯数学方法，如果初始条件或者激励信号发生变化，需要重新求解

信号基本概念

• 信号的定义
  • 随时间变化的某种物理量
    • 比如电信号、声信号、光信号、图像
    • 信息的表现形式和传送载体
• 信号的时域描述方式
  • 函数式描述
  • 图形（波形）描述

信号的分类

• 确定信号和随机信号
  • 确定信号：能用确定时间函数表示的信号
  • 随机信号：不是时间的确定函数
    • 也叫不确定信号，比如噪声
• 连续信号和离散信号
  • 连续信号：观测过程的连续时间范围内信号有确定值
    • 允许在时间定义域上存在有限间断点
    • 用表示
    • 模拟信号：任一时刻取值也连续的连续信号
    • 脉冲信号：连续信号幅度量化后变成脉冲信号
  • 离散信号：信号仅在规定的离散时刻有定义
    • 用表示
    • 数字信号：取值离散的离散信号
    • 连续信号时间量化后变成抽样离散信号，再进行幅度量化后变成数字信号
• 周期信号和非周期信号
  • 周期信号：满足或
  • 非周期信号：不满足周期信号定义的信号
• 能量信号和功率信号
  • 归一化能量定义
  • 归一化功率定义
  • 能量信号
  • 功率信号

信号的基本性质

二端电路概述

• 端口
  • 由两个端子构成，如果任意时刻流入一个端子的电流等于另一个端子的电流（端口条件），则这对端子为一个端口
• 二端口电流
  • 有两对端子，每对各自都满足端口条件
  • 四个端口变量

开路参数和短路参数

• 开路参数方程（参数方程）
  • 方程形式
    • 
      
  • 参数物理意义
    • ：出口开路的输入阻抗
    • ：出口开路的转移阻抗
    • ：入口开路的转移阻抗
    • ：入口开路的输出阻抗
  • 互易二端口电路
    • 如果组成网络的元件都是线性无源元件（电阻，电感，电容），则是互易的，而含有受控源的一般不具有互易性
  • 对称二端口电路
• 短路参数方程（参数方程）
  • 方程形式
    • 
      
  • 参数物理意义
    • ：出口短路的输入导纳
    • ：出口短路的转移导纳
    • ：入口短路的转移导纳
    • ：入口短路的输出导纳
  • 矩阵和矩阵关系
  • 互易二端口电路
  • 对称二端口电路
• 参数求解方法
  • 列基尔霍夫方程
  • 根据参数物理意义求解

传输参数和混合参数

网络函数

• 定义
  • 其中是响应相量，是激励相量
• 特性
  • 包含了响应和激励的幅度关系
  • 包含了响应和激励的相位关系
• 注
  • 响应大小除了和信号幅度有关，也和信号频率有关

滤波器

• 定义
  • 对信号处理的电路，允许部分频率分量或全部频率分量通过
• 分类
  • 低通
  • 高通
  • 带通
  • 带阻
  • 全通
• 一阶滤波电路
  • 一阶低通电路
    • 网络函数：
    • 举例：串联电路，以电容电压作为输出频率响应，
  • 一阶高通电路
    • 网络函数：
    • 举例：串联电路，以电阻电压作为输出频率响应，
  • 一阶全通电路
    • 网络函数：
    • 举例：电桥，并联两个支路，一个支路是,另一个支路是，以两支路中间相连的电桥电压作为输出频率响应，则
• 二阶滤波电路
  • 低通
  • 高通
  • 带通
    • 中心角频率：使取最大值的频率
    • 截止频率：使得下降到最大值的对应的频率
    • 带宽：两个截止频率的差，即频带宽度
  • 带阻
  • 全通

串联谐振电路

解析变换的特性

解析变换的保域性

• 保域定理
  • 设在区域内解析且不恒为常数，则的象也是一个区域
• 定理
  • 设在区域内单叶解析，则的象也是一个区域
  • 设函数在点解析，且，则在的一个邻域内单叶解析

解析变换的保角性

• 复平面内曲线的切线
  • 设复平面的连续曲线，正向是增大时的移动方向
  • 是曲线在处切线的正向与轴正向的夹角
    • 注意自变量是实参数，因变量是复数，对应导数也是复数
    • 表示对应复数的辐角
  • 若两个曲线相交于，则在交点处两曲线正向之间的夹角就是俩切线的夹角
• 解析函数导数的意义
  • 设在区域内解析，，且
  • 在内过引一条光滑曲线，则在平面上也有一个曲线
    • 因为，故（考虑到指数相乘对应上的角度相加）
  • 原曲线的切线通过复变换后出现了转动，转动角就是
    • 转动角也叫旋转角
  • 总结：对于解析函数的导数（是个复数）
    • 辐角叫旋转角
    • 模长叫伸缩率
    • 解析函数在导数不为零的地方，旋转角不变，伸缩率不变（无论如何选取）
• 保角变换
  • 定义
    • 过的任意俩曲线的夹角，经过变换，保持大小方向不变，则称在是保角变换（保角的），如果在区域的点都是保角变换，则称在区域内是保角变换（保角的）
  • 定理
    • 如果在区域内解析，则在区域内不为零的点都是保角的
    • 如果在区域内单叶解析，则在区域内都是保角的
  • 保角的理解
    • 俩曲线经过变换的旋转角就是解析函数导数的辐角，因此经过变换的夹角也不变

留数

• 定义
  • 设是的有限孤立奇点，则存在的某一邻域使得
  • 上述展开式中的系数是在处的留数，记作，或者
    • 因此，其中为内包含的一条简单闭曲线
    • 若是的有限可去奇点，则
• 留数定理
  • 设是一条简单闭曲线，函数在内有有限个孤立奇点除此之外，在内和上解析，则
    • 结合前面的定义知识，个人理解是简单闭曲线内包含的所有有限孤立奇点对应的留数之和可以用来计算该闭曲线的积分
• 留数的计算
  • 若是的有限可去奇点，则
  • 若是的本性奇点，往往采用展开的方法求
  • 若是的极点，有如下计算规则
    • 如果是的级极点，则
    • 如果是的级极点，则
    • 设，在处解析，，则是的单极点，且
• 无穷远点的留数
  • 设在的去心邻域内解析，称是在的留数
    • 若在内的洛朗展式为，则
    • 若是的可去奇点，则不一定是零
  • 若在扩充平面内只要有限个孤立点，则在所有奇点（包括无穷远点）处留数和为零
  • • 因此

用留数计算定积分

• 形如的积分，在上连续
  • ，则
  • 则
• 形如的积分
  • 这里要求分母次数比分子次数高次，且在实轴上没有奇点时积分存在
  • 则
• 形如的积分
  • 分母次数比分子次数高，且分子分母互质
  • 当在实轴上没有奇点，
    • 是在上半平面的极点
  • 补充两个积分的求法

辐角原理及其应用

洛朗展式

双边幂级数

• 定义
  • 双边幂级数形式为
  • 其中都是常数
• 正幂项
• 负幂项
• 双边幂级数收敛区域为
  • 为的收敛半径
  • 为的收敛半径

函数展开成双边幂级数

• 定理
  • 设函数在圆环域内处处解析，则一定能在此圆环域内展开成洛朗级数
  • 形式为
    • 其中是洛朗系数
    • 是圆环域绕的任一正向简单闭曲线
• 洛朗展开式和泰勒展开式的区别
  • 洛朗展开式中的不能写成泰勒展开式的的形式，因为是函数奇点时，不存在
  • 洛朗展式是双边幂级数
  • 求法的区别
    • Laurent级数先求奇点，然后以为中心，奇点为分隔点，找出到无穷远处的所有使解析的环，在环上展成级数
    • Taylor级数先展开求，找出收敛域
• 一个函数可以在几个圆环内解析
  • 在不同圆环内洛朗展式不同
  • 在同一圆环域内，洛朗展式唯一