【知识总结】 留数理论及其应用

留数

• 定义
  • 设是的有限孤立奇点，则存在的某一邻域使得
  • 上述展开式中的系数是在处的留数，记作，或者
    • 因此，其中为内包含的一条简单闭曲线
    • 若是的有限可去奇点，则
• 留数定理
  • 设是一条简单闭曲线，函数在内有有限个孤立奇点除此之外，在内和上解析，则
    • 结合前面的定义知识，个人理解是简单闭曲线内包含的所有有限孤立奇点对应的留数之和可以用来计算该闭曲线的积分
• 留数的计算
  • 若是的有限可去奇点，则
  • 若是的本性奇点，往往采用展开的方法求
  • 若是的极点，有如下计算规则
    • 如果是的级极点，则
    • 如果是的级极点，则
    • 设，在处解析，，则是的单极点，且
• 无穷远点的留数
  • 设在的去心邻域内解析，称是在的留数
    • 若在内的洛朗展式为，则
    • 若是的可去奇点，则不一定是零
  • 若在扩充平面内只要有限个孤立点，则在所有奇点（包括无穷远点）处留数和为零
  • • 因此

用留数计算定积分

• 形如的积分，在上连续
  • ，则
  • 则
• 形如的积分
  • 这里要求分母次数比分子次数高次，且在实轴上没有奇点时积分存在
  • 则
• 形如的积分
  • 分母次数比分子次数高，且分子分母互质
  • 当在实轴上没有奇点，
    • 是在上半平面的极点
  • 补充两个积分的求法

辐角原理及其应用

• 对数留数
  • 形如的积分称为的对数留数
• 引理
  • 设是的级零点，则必为函数的一级极点，且
  • 设是的级极点，则必为函数的一级极点，且
• 辐角原理
  • 设是一条围线，满足条件
    • 在内纯亚
    • 在上解析且不为零
  • 则
    • 和分别表示在内部的零点和极点的个数
• 儒歇定理
  • 设是一条围线，函数满足条件
    • 它们在内部均解析，且连续到
    • 在上，
  • 则和在内部有同样多的零点