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洛朗展式
双边幂级数
函数展开成双边幂级数
- 定理
- 设函数在圆环域内处处解析，则一定能在此圆环域内展开成洛朗级数
- 形式为
- 洛朗展开式和泰勒展开式的区别
- 洛朗展开式中的不能写成泰勒展开式的的形式，因为是函数奇点时，不存在
- 洛朗展式是双边幂级数
- 求法的区别
- Laurent级数先求奇点，然后以为中心，奇点为分隔点，找出到无穷远处的所有使解析的环，在环上展成级数
- Taylor级数先展开求，找出收敛域
- 一个函数可以在几个圆环内解析
- 在不同圆环内洛朗展式不同
- 在同一圆环域内，洛朗展式唯一
函数的洛朗展开
孤立奇点
- 孤立奇点定义
- 若在处不解析，但在的某个去心邻域内解析，则称为的孤立奇点
- 说明奇点不一定是孤立的
- 若函数的奇点个数有限，则每一个奇点都是孤立奇点
- 孤立奇点分类
- 若为的孤立奇点，则存在，在区域内解析，且在区域内可展成洛朗级数
- 可去奇点：展式中不含负幂项
- 极点：展式中仅含有限个负幂项
- 本性奇点：展式中含有无穷个负幂项
- 函数在孤立奇点的性质
- 若为的孤立奇点，则以下条件等价
- 在点的主要部分为零
- （是常数）
- 在点的某去心邻域内有界
- 若为的孤立奇点，则以下条件等价
- 若为的孤立奇点，则是极点的充要条件是
- Schwarz引理：如果函数在单位圆内解析，并且满足条件，则在单位圆内恒有，且有
- 若成立或在圆内处成立，则（当且仅当），其中是实常数
- 零点和极点的关系
- 极点的运算性质
- 若分别是的级零点则
- 是的级零点
- 时，是的级零点
- 时，是的可去奇点或解析点
- 类洛必达法则
- 若和两个不恒为零的解析函数，且，则（或者两端都是）
- 本性奇点相关性质
- 是的本性奇点不存在且不为
- Weierstrass定理
- 若是的本性奇点，则对任何有限或无限常数，必存在一个收敛于的点列使得
- 皮卡（大）定理
- 如果为的本性奇点，则对于每个，除去可能的一个外，必有趋于的无限点列使得
- 如果是函数的本性奇点，且在的某去心邻域内，则也是的本性奇点
无穷远点的性质
- 若在的去心邻域内解析，则称是的孤立奇点
- 记，则在内解析，则也是的一个孤立奇点
- 若是的可去奇点、级极点、本性奇点，则相应称是的可去奇点、级极点、本性奇点
- 洛朗展示判别法
- 考虑到在的洛朗展示为，则
- 因此若是孤立奇点，有性质入学
- 是可去奇点的洛朗展式不含正幂项
- 是级极点的洛朗展式含有有限正幂项
- 是本性奇点的洛朗展式含有无穷多正幂项
- 极限判别法
- 是可去奇点存在且有限
- 是级极点
- 是本性奇点不存在且不为
整函数与纯亚函数
整函数
- 整函数定义
- 整函数相关定理
- 若是整函数，则
- 是的可去奇点的充要条件是
- 是的级极点的充要条件是是一个次多项式
- 是的本性奇点的充要条件是有无穷多个不等于零（这种整函数叫超越整函数）
纯亚函数
- 纯亚函数定义
- 在平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数是纯亚函数
- 纯亚函数相关定理
- 函数是有理函数的充要条件为在扩充平面平面上除极点外没有其他类型的奇点
- 扩充平面是复平面和无穷远点构成的平面
- 非有理的纯亚函数称为超越纯亚函数
- 记忆：有理函数和超越纯亚函数是纯亚函数的划分
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