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解析变换的特性
解析变换的保域性
- 保域定理
- 定理
- 设在区域内单叶解析，则的象也是一个区域
- 设函数在点解析，且，则在的一个邻域内单叶解析
解析变换的保角性
- 复平面内曲线的切线
- 设复平面的连续曲线，正向是增大时的移动方向
- 是曲线在处切线的正向与轴正向的夹角
- 注意自变量是实参数，因变量是复数，对应导数也是复数
- 表示对应复数的辐角
- 若两个曲线相交于，则在交点处两曲线正向之间的夹角就是俩切线的夹角
- 解析函数导数的意义
- 设在区域内解析，，且
- 在内过引一条光滑曲线，则在平面上也有一个曲线
- 原曲线的切线通过复变换后出现了转动，转动角就是
- 总结：对于解析函数的导数（是个复数）
- 辐角叫旋转角
- 模长叫伸缩率
- 解析函数在导数不为零的地方，旋转角不变，伸缩率不变（无论如何选取）
- 保角变换
- 定义
- 过的任意俩曲线的夹角，经过变换，保持大小方向不变，则称在是保角变换（保角的），如果在区域的点都是保角变换，则称在区域内是保角变换（保角的）
- 定理
- 如果在区域内解析，则在区域内不为零的点都是保角的
- 如果在区域内单叶解析，则在区域内都是保角的
- 保角的理解
- 俩曲线经过变换的旋转角就是解析函数导数的辐角，因此经过变换的夹角也不变
单叶解析变换的共形性
分式线性变换
分式线性变换及其分解
- 定义：为分式线性变换
- 的分解
- 结论：分式线性变换可以分解为整线性变换和反演变换的复合
- 整线性变换是旋转、伸缩、平移的复合
- 反演变换是关于单位圆周的对称变换和关于实轴的对称变换的复合
分式线性变换的映射性质
- 保角性
- 保圆性
- 保对称点性
- 关于圆对称的定义
- 和关于圆周对称表示在圆心出发的射线上，且，且规定圆心和点是关于圆周对称的
- 扩充平面的两点关于圆周对称通过的任意圆周和正交
- 扩充平面的两点关于圆周对称，则经过分式线性变换，两点关于圆周对称
- 保交比性
- 交比定义
- 扩充平面上顺序的四个相异点构成量
- 当有一点为时，则把包含此点的项用表示，比如
- 分式线性变换下四点的交比不变
- 因此，如果已知分式线性变换前后的三对对应点，则可以确定这个线性变换为
初等函数构成的共形映射
幂函数与根式函数
- 把角形区域共形映射成角形区域
- 特别的，将角形区域共形映射成平面上除了原点和正实轴的区域
- 把角形区域共形映射成角形区域
指数函数与对数函数
- 把带形区域共形映射为角形区域
- 特别的，将带形区域共形映射成平面上除了原点和正实轴的区域
- 把角形区域共形映射成带形区域
由圆弧构成的两角形区域的共性映射
- 两个圆重合部分称为两角形区域，通过分式线性变换（有保圆性）和幂函数指数函数的复合，能把给定两角形区域共形映射为同样形状的区域
- 若给定圆周上有一点是无穷远点，则此圆周就是直线
- 若两圆弧的一个公共点是无穷远点，则此两角形区域共形映射成角形区域
黎曼存在和边界对应定理
- 黎曼存在与唯一性定理
- 扩充平面上的单叶连通区域，其边界点不止一点，则能找到内的单叶解析函数，将保形变换为单位圆
- 当满足条件，唯一
- 说明通过变换成为单位圆的圆心，也就是原点
- 说明复数的辐角为（否则复数无法和实数比较大小），此时就是模长，大于零。
- 边界对应定理
- 单连通域和的边界为和，将保形变换为
- 则可以扩张为，使得内，在上连续，并将双方单值且双方连续的变成
- 双方单值的理解：指的是双向的映射变换都是单值的，也就是边界上的点一一对应的
- 连续变成的理解：上无限接近的两个点到上也无限接近
- 边界对应定理逆定理
- 单连通域和的边界为和，在区域内解析，在上连续，并把双方单值变成
- 则在内单叶，且将保形变换为
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