复级数的基本性质
复数列的极限
- 定义
- 设
为一复数列，其中 ，且 为一复常数 - 若
，当 ，恒有 - 则称
是复数列 当 时的极限 - 记作
- 此时也称
收敛于
- 此时也称
- 设
- 相关定理
- 两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商
复数项级数
- 定义
- 设复数列
是无穷级数 是级数前 项和
- 设复数列
- 如果级数部份和数列
收敛，则称此级数收敛，且 为级数的和 - 记作
- 否则称级数发散
- 记作
- 判断复数项级数敛散性基本方法就是利用
- 相关定理
- 级数
收敛 和 都收敛 - 级数
收敛的必要条件是 - 如果级数
收敛，则级数 也收敛 收敛 和 都收敛
- 级数
- 绝对收敛和条件收敛
- 若
收敛，则 绝对收敛 - 若
发散， 收敛，则 条件收敛
- 若
复变函数项级数
- 定义
- 设复变函数列
- 则
是复变函数项级数 - 级数前n项和
是级数的部分和 - 如果对于
内某点 ，数项级数 收敛，则该点为 的一个收敛点 - 若区域
内每个点都收敛则级数在 内收敛 - 收敛点的集合是收敛域
- 若区域
- 如果对于
内某点 ，数项级数 发散，则该点为 的一个发散点 - 发散点的集合是发散域
- 级数在
内的和函数 - 要求级数在
内处处收敛
- 要求级数在
- 设复变函数列
- 一致收敛
- 对于级数
，如果 上有一个函数 ，使得对于任意给定的 ，存在正整数 ，当 ，对一切 都有 - 则称级数
在 上一致收敛于 - 注：相比于正常的单个点的收敛，一致收敛强调在某个区域内的收敛情况
- 区域内不同的点有不同的收敛值，对应为函数
- 区域内不同的点有不同的收敛值，对应为函数
- 对于级数
- 一致收敛相关性质
- 设
上 连续，且 在 上一致收敛于 ，则 在 上连续 - 设在曲线
上 连续，并且级数 在 上一致收敛于 ，则
- 设
- 一致收敛的判别
- 一致收敛柯西准则
- 函数项级数
在 上一致收敛的充要条件是 ，存在只和 有关的正整数 ，使得 时， ，有
- 函数项级数
- 优势数准则
- 设
是一个收敛的正项级数且在 上 - 若
，那么级数 在 上一致收敛
- 设
- 一致收敛柯西准则
- 内闭一致收敛
- 设函数序列
在复平面 上区域 内解析 - 如果级数
在 内任一有界闭区域上一致收敛于 - 那么称此级数在
中内闭一致收敛于
- 设函数序列
- 魏尔斯特拉斯定理
- 设函数列
在区域内 内解析，并且函数项级数 在 内内闭一致收敛于函数 ，那么 在区域内 内解析，并且在 内
- 设函数列
幂级数
本节强调把幂级数的和函数在收敛圆内用解析函数表示
定义
- 形如
的复函数项级数称为幂级数，其中 都是复常数 - 若令
，则以上幂级数还可以写成 形式
阿贝尔定理
- 如果级数
在 收敛，则对满足 的一切 ，级数绝对收敛；如果级数在 发散，则对满足 的一切 级数发散
收敛圆和收敛半径
情况讨论
- 对所有复数
都收敛的情况 - 根据阿贝尔定理，级数在复平面内处处绝对收敛，收敛半径是
- 根据阿贝尔定理，级数在复平面内处处绝对收敛，收敛半径是
- 除了
外都发散的情况 - 级数在复平面内除了原点处处发散，收敛半径为0
- 存在
使得 收敛，存在 使得 发散 - 根据阿贝尔定理，级数在
为半径的圆周内绝对收敛，外发散 - 圆周上的敛散性需要代入具体值分析，不能确定
- 根据阿贝尔定理，级数在
收敛半径求解
- 定理：级数
与 有相同的收敛半径 - 从而转化为实幂级数的收敛性
- 比值判别法
- 如果幂级数
的系数 满足 - 则
- 如果幂级数
- 根值判别法
- 如果幂级数
的系数 满足 - 则
- 如果幂级数
幂级数的性质和运算
- 幂级数的和函数
在其收敛圆内 - 是一个解析函数
- 可逐项求导
- 可逐项积分
- 复幂级数可以进行代数运算
- 包括加减、乘法
- 运算结果级数在两个级数中较小的收敛圆内成立，但不代表结果收敛半径就是该较小圆的半径
- 复合运算
- 设
， 在 内解析，且 ，则
- 设
泰勒展式
本节强调把解析函数用幂级数表示
泰勒展开定理
- 预备知识
- 柯西积分公式
- 设
在简单或复合闭曲线 上及所围区域 内解析，则对任意 皆有
- 设
- 公式
- 解析函数的无穷可微性
- 柯西积分公式
- Taylor定理
- 设
在区域 内解析， ， 为 到 的边界上各点的最短距离，则当 时， 为 在 点的Taylor展开 时，级数称为麦克劳林级数 - 若
有奇点，则其在解析点 的Taylor展式的收敛半径等于点 到 最近的一个奇点的距离 在 的Taylor展式是唯一的
- 设
在 解析的五个等价说法 在点 的某一领域内可导（解析定义） ， 和 在点 某邻域内有连续偏导数，且满足C-R方程 ， 和 在点 可微，且满足C-R方程 在点 的某领域内连续且沿邻域内任一条正向封闭曲线的积分为0 在点 的某一邻域内可展成幂级数
- Talyor级数展开方法
- 直接公式法
- 间接法
- 运算、代换、配凑、逐项求导、逐项积分
- 常用展开式
零点的孤立性和唯一性
- 零点的定义
- 设
在 解析，若 ，则称 为 的零点 - 若
但 ,则 是 的 级零点 则 是 单零点 以 为 级零点的充要条件是 的某邻域内 可以表示成 形式，其中 ， 在 点解析
- 设
- 零点的孤立性
- 定理
- 如在
内解析的函数 不恒为零， 为其零点，则必有 的邻域，使得 在其中无异于 的零点 - 通俗来说就是不恒为零的解析函数的零点是孤立的
- 如在
- 定理
- 零点的唯一性
- 解析函数唯一性定理
- 设函数
在 内解析，且 内有一个收敛于 的点列 ，满足 ，则在 内恒有
- 设函数
- 推论
- 设在区域
内解析的函数 在 内某一子区域或一小段弧相等，则它们在 内恒等 - 一切在实轴上成立的恒等式，只要恒等式两边在
平面上都解析，则该恒等式在 平面上也成立
- 设在区域
- 解析函数唯一性定理
- 最大模原理
- 设
是区域 内解析函数且不为常数，则 在 内任何点都不能达到最大值
- 设
