【知识总结】 复变函数的积分

复积分的概念和性质

有向曲线

• ，且连续、
  • 是复平面的一条光滑曲线
  • 默认讨论的曲线都认为是光滑的
• 曲线的方向
  • 由起点到终点
• 闭曲线的正向
  • 观察者沿着正向移动时，曲线内部总在左侧

积分定义

• 类似二元曲线积分
• 定义步骤
  • 分割
  • 近似
  • 求和
  • 取极限

积分存在条件

• 必要条件
  • 存在沿着有界
• 充分条件
  • 如果沿着曲线连续，则沿着可积
  • 且

复积分的性质

• ,为常数
• • 被积函数的线性可加性
• • 积分路径可加性
• • 已用到
• 设曲线的长度为，函数在上满足，则
  • 积分估值定理

复积分计算的参数方程法

• 若
  • 能写出的参数方程，
  • 沿着连续
• 则可以利用积分存在充分条件的两个实函数线积分来计算
  • 即

补充结论

• ，则

柯西-古萨积分定理

柯西积分定理

• 若在单连通区域内解析，则对于内任一条闭曲线，有
  • 注：柯西的原版本定理中，解析的定义是存在且在内连续，后来古萨去掉了在内连续条件证明定理也成立

原函数

• 若在单连通区域内解析，则在内解析，且
  • 称为在的原函数
• 任何两个原函数相差一个常数
• 若在单连通区域内解析，是的一个原函数
  • 则
  • 即复积分的牛顿莱布尼茨公式
• 复合闭路定理
  • 设是由所围成的有界多连通区域，在内和边界上解析
  • 则
  • 注：表示逆时针，表示顺时针

柯西积分公式

• 定理
  • 设在简单或复合闭曲线上和所围的区域内解析，则对任意，皆有
• 结论
  • 如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则两者在整个区域上也相等
  • 定理要求在内，若在外，则
  • 解析函数可以用复积分表示
    • ，其中在上，在内
  • 解析函数在圆心处的值等于圆周上的平均值
• 柯西积分公式推广
  • 设在简单或复合闭曲线上和所围的区域内解析，则其在内有任意阶导数，且对任意，皆有
  • 记忆
    • 在两边同时对求阶导数
    • 得到
  • 推论
    • 若在简单或复合闭曲线上和所围的区域内解析，则在内也解析，其中为自然数
    • 若在区域内解析，则和在内有任意阶连续偏导数
• Morera定理
  • 设在单连通域内连续，且对于内任意一条简单曲线有，则在内解析
• 柯西不等式
  • 设在区域内解析，为内一点，区域包含于，且设
  • 则根据高阶导数公式
  • 其中
• 刘维尔定理
  • 平面上解析且有界的函数必为常数
  • 个人理解是根据柯西不等式，考虑到平面上的区域的可以很大，则
  • 根据刘维尔定理可以得到代数学基本定理
• 代数学基本定理
  • 平面上次多项式至少有一个零点
  • 其中
• 最大模定理
  • 设是区域内解析函数且不为常数，则在内任何点都不能达到最大值

解析函数与调和函数的关系

调和函数定义

• 若二元实变函数在内具有二阶连续偏导数且满足Laplace方程
• 则称为内的一个调和函数

解析与调和的关系

• 若在区域内解析，则在内都调和
• 但如果都在内调和，不一定在内解析，需要有一定联系
• 设在内调和，则称使得在内解析的调和函数为的共轭调和函数
  • 若在内解析，则是的共轭调和函数
  • 若在内是的共轭调和函数，则在内解析

构造解析函数

• 已知调和函数，求出共轭调和函数，从而构成解析函数
• 求解共轭调和函数的方法主要是利用解析函数的充要条件
  • 结合不定积分即可
  • 结果一般都不唯一，相差任意常数