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【知识总结】 复变函数的积分

复积分的概念和性质

有向曲线

  • ,且连续、
    • 是复平面的一条光滑曲线
    • 默认讨论的曲线都认为是光滑的
  • 曲线的方向
    • 由起点到终点
  • 闭曲线的正向
    • 观察者沿着正向移动时,曲线内部总在左侧

积分定义

  • 类似二元曲线积分
  • 定义步骤
    • 分割
    • 近似
    • 求和
    • 取极限

积分存在条件

  • 必要条件
    • 存在沿着有界
  • 充分条件
    • 如果沿着曲线连续,则沿着可积

复积分的性质

  • ,为常数
    • 被积函数的线性可加性
    • 积分路径可加性
    • 已用到
  • 设曲线的长度为,函数上满足,则
    • 积分估值定理

复积分计算的参数方程法

    • 能写出的参数方程,
    • 沿着连续
  • 则可以利用积分存在充分条件的两个实函数线积分来计算

补充结论

  • ,则

柯西-古萨积分定理

柯西积分定理

  • 在单连通区域内解析,则对于内任一条闭曲线,有
    • 注:柯西的原版本定理中,解析的定义是存在且在内连续,后来古萨去掉了内连续条件证明定理也成立

原函数

  • 在单连通区域内解析,则内解析,且
    • 称为的原函数
  • 任何两个原函数相差一个常数
  • 在单连通区域内解析,的一个原函数
    • 即复积分的牛顿莱布尼茨公式
  • 复合闭路定理
    • 是由所围成的有界多连通区域,内和边界上解析
    • 注:表示逆时针,表示顺时针

柯西积分公式

  • 定理
    • 在简单或复合闭曲线上和所围的区域内解析,则对任意,皆有
  • 结论
    • 如果两个解析函数在区域的边界上处处相等,则两者在整个区域上也相等
    • 定理要求内,若在外,则
    • 解析函数可以用复积分表示
      • ,其中上,
    • 解析函数在圆心处的值等于圆周上的平均值
  • 柯西积分公式推广
    • 在简单或复合闭曲线上和所围的区域内解析,则其在内有任意阶导数,且对任意,皆有
    • 记忆
      • 两边同时对阶导数
      • 得到
    • 推论
      • 在简单或复合闭曲线上和所围的区域内解析,则内也解析,其中为自然数
      • 在区域内解析,则内有任意阶连续偏导数
  • Morera定理
    • 在单连通域内连续,且对于内任意一条简单曲线,则内解析
  • 柯西不等式
    • 在区域内解析,内一点,区域包含于,且设
    • 则根据高阶导数公式
    • 其中
  • 刘维尔定理
    • 平面上解析且有界的函数必为常数
    • 个人理解是根据柯西不等式,考虑到平面上的区域的可以很大,则
    • 根据刘维尔定理可以得到代数学基本定理
  • 代数学基本定理
    • 平面上次多项式至少有一个零点
    • 其中
  • 最大模定理
    • 是区域内解析函数且不为常数,则内任何点都不能达到最大值

解析函数与调和函数的关系

调和函数定义

  • 若二元实变函数内具有二阶连续偏导数且满足Laplace方程
  • 则称内的一个调和函数

解析与调和的关系

  • 在区域内解析,则内都调和
  • 但如果都在内调和,不一定内解析,需要有一定联系
  • 内调和,则称使得内解析的调和函数的共轭调和函数
    • 内解析,则的共轭调和函数
    • 若在的共轭调和函数,则内解析

构造解析函数

  • 已知调和函数,求出共轭调和函数,从而构成解析函数
  • 求解共轭调和函数的方法主要是利用解析函数的充要条件
    • 结合不定积分即可
    • 结果一般都不唯一,相差任意常数