【知识总结】 解析函数

导数与解析

导数定义

• 若存在
  • 则记为在的导数
  • 注意这里的极限趋近可以以任何方式趋近

可导与连续的关系

• 可导一定连续，连续不一定可导
• 很容易获得处处连续但处处不可导的复变函数
  • 比如

求导法则

• 和实函数求导法则相同
  • 比如常数的导数、n次幂的导数、四则运算导数、复合函数导数、反函数导数

微分

• 设在处可导
  • 则
  • 其中
• 在处的微分为
  • 可以看出在可导性和可微性是等价的

解析函数的概念

• 定义
  • 在某个小邻域内处处可导，则在点解析
  • 不解析的点叫奇点
  • 某点解析则一定可导，不存在离散孤立的解析点
• 定理
  • 函数在区域内可导则一定可解析
    • 也就是说在区域内可导和解析等价
    • 回忆区域的定义，非空的连通开集
• 性质
  • 解析函数的四则运算和复合函数还是解析函数

函数可导和解析的条件

• 定理
  • 函数在点可导的充要条件是
    • 在可微，且在该点满足方程
    • 该充要条件又叫达朗贝尔-欧拉条件
    • 下面的方程是柯西-黎曼方程
  • 函数在内解析的充要条件是
    • 在内可微，且满足

初等解析函数

• 指数函数
  • 性质
    • 复平面上处处解析
    • 加法定理
    • 以为周期
• 三角函数
  • 对于实数有
  • 推广到复数
  • 性质
    • 以为周期
    • 在复平面上处处解析
    • 欧拉公式仍然成立
    • 复数范围内正余弦的绝对值可能大于
    • 其他三角函数可以按和正余弦的关系去定义，比如正切等
• 双曲正余弦函数
  • 性质
    • 都是以为周期

初等多值函数

单叶函数

• 设在内有定义，且对内任意不同两点都有，则称函数在内单叶，且是单叶性区域

根值函数

• 定义：若，则是的次根式函数
  • 记为
• 根值函数具有多值性

对数函数

• 定义：若，则是复数的对数函数
• 性质
  • 因为定义域是，因此在复数范围内，负数有对数
  • 无穷多值函数，每两个函数值差
  • 除了原点和负实轴外均处处连续、处处解析

反三角函数

• 定义
  • 若则
  • 同理定义反正弦函数
• 根据余弦函数的指数形式，可以把反三角函数展开（显然也都是多值函数）

反双曲函数

• 反双曲正弦
• 反双曲余弦
• 反双曲正切

支点、支割线、单值解析分支

• 支点
  • 某变点绕着复平面上某点走一圈回到原位，函数值有变化，则是支点
  • 高维函数向低维坍塌导致多值性
• 支割线
  • 把复平面割开，分出多个单值函数的线，是多值函数的支割线
  • 这些单值的连续解析函数就是单值解析分支