【知识总结】 复数与复变函数

复数

基本概念

• • 其中和是实数
• 实部
• 虚部
• 共轭复数

四则运算

• 满足分配律、交换律、结合律
• 四则运算的共轭 = 共轭的四则运算
  • 比如

复数的几种表示法

• 复平面
  • 代数表示
• 向量
  • 几何表示
  • 幅角主值
    • 满足的
• 三角表示
• 指数表示
  • 适合进行乘幂和方根计算

复平面上的点集

基本概念

• 邻域
• 去心邻域
• 设为平面点集
  • 内点：
  • 边界点：每个内既有属于的点，又有不属于的点
  • 聚点：若一个点（可以不属于）的任意邻域都有无穷个中的点，则为的聚点
  • 孤立点：属于但不是的聚点
  • 外点：存在某个邻域，该邻域中没有属于的点
  • 开集：所有点都是内点的点集
  • 闭集：开集的补集
    • 空集和整个复平面既是开集，又是闭集
  • 边界：的所有边界点组成的边界
  • 连通：中任意两点可用一条全在中的曲线连接
  • 区域：非空的连通开集
  • 有界区域：存在，使得中所有的满足

简单曲线

• 有向曲线
• 连续曲线
  • 是定义在上的实值连续函数
• 简单曲线
• 简单闭曲线
  • 自身闭合的简单曲线
  • Jordan曲线
  • 性质（Jordan定理）
    • 任一Jordan曲线把平面分成三个互不相交的部分：内部、外部、公共边界
• 光滑曲线
  • 存在、连续且不全为零

单连通域和多连通域

• 单连通域
  • 复平面区域内任意简单闭曲线的内部都在内，则为单连通域
• 多连通域
  • 非单连通域
  • 特点是内部含有洞或裂缝
  • 任意简单闭曲线内部单连通、外部多连通

复变函数

定义

• 存在一个法则，给出复数集合中任意一个复数，就有一个或几个复数与之对应，则称复变数是复变数的函数
  • 简称复变函数
  • 如果有单个，则是单值复变函数
  • 如果有多个，则是多值复变函数
• 可以看到，复变函数的定义类似于映射

两个特殊映射

• • 关于x轴对称
• • 利用
  • 模长为,幅角为

复变函数的反函数

• 设的定义集合为，函数集合为，中每个对应中的点
  • 按函数定义也就确定了单值或多值函数，是的反函数

复变函数的极限和连续性

• 极限
  • 记作
  • 形式上虽然类似于一元实函数，但是因为在复平面上，接近方式可以沿着不同的方向，本质类似于二元实函数
• 结论
  • 如果极限存在，可以选定一个接近方向求解极限
  • 如果方向不同，变化趋势不同，则极限一定不存在
• 定理
  • 设,则
    • 且
    • 个人理解是复变函数的连续性取决于对应两个实函数的连续性
  • 设，则
• 连续性
  • 复变函数在某点连续表示复变函数在该点的极限值和函数值都存在，且两者相等
  • 根据前面的定理可以知道，复变函数在某点连续的充要条件是对应两个实函数在该点连续
  • 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）还是连续函数
  • 连续函数的复合函数还是连续函数
  • 因为复数不能比较大小，所以实函数中的介值定理、最值定理等都无法使用

复球面和无穷远点

• 南极和北极
  • 在复平面上作一个与复平面切于原点的球面，通过原点作复平面的垂线交球面于北极，原点又叫南极
• 复球面
  • 球面上的点和北极的连线交复平面于唯一点，复平面上的点和北极的连线也交复球面于唯一点
  • 复球面的点一一对应复平面的点，可以用复球面表示复数
  • 北极对应模为无穷大的无穷远点，不考虑辐角
• 扩充复平面
  • 加上了无穷远点的复平面