- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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理解铺垫
- 无穷级数和数列的区别
- 无穷级数本质是一个数，这个数的表达形式是无穷个数的和（加号连接每一项）
- 数列本质是无穷个数，这无穷个数的表达形式是无穷个数的排列（逗号连接每一项）
- 无穷级数和数列的联系
- 两者存在1对1的映射关系，级数和数列的第n项指的是同一个数
- 经常用数列中的理论解决无穷级数问题。比如：级数收敛等价于，级数所对应数列的前n项和（也是一个数列）在无穷处收敛
- 后面在表述中，在没有歧义的情况下，把“级数所对应数列”表述为“数列”
常数项级数
正项级数敛散性
思考顺序和相关定理：
- 收敛定义：适合任意级数
- 数列的和收敛，则级数收敛
- 若考虑正项级数，则数列的前n项和数列是单调增的，下一步可以考虑上界是否存在
- 收敛必要条件：适合任意级数
- 数列不收敛，则级数不收敛
- 比值判别法：适合正项级数，使用范围小，判定方便，优先考虑
- 若第n+1项比第n项的极限小于1，级数收敛
- 若第n+1项比第n项的极限大于1，级数发散
- 若第n+1项比第n项的极限等于1，不确定敛散性
- 根植判别法：适合正项级数，使用范围小，判定方便，优先考虑
- 若第n项开n次根号的极限小于1，级数收敛
- 若第n项开n次根号的极限大于1，级数发散
- 若第n项开n次根号的极限等于1，不确定敛散性
- 比较判别法：适合正项级数，使用范围大，判定不方便（需要构造新级数），次优考虑
- 已知每一项更大的正项级数收敛（如
），则级数收敛 - 已知每一项更小的正项级数发散（如
），则级数发散
- 已知每一项更大的正项级数收敛（如
- 比较判别法极限形式：适合正项级数，使用范围大，判定不方便（需要构造新级数），次优考虑
- 若极限情况的项比值为常数，则同敛散性
- 若极限情况的项比值为无穷（即分子更大），分子级数收敛，则分母级数收敛
- 若极限情况的项比值为0（即分子更小），分子级数发散，则分母级数发散
- 积分判别法：适合正项级数
- 找到数列所对应的函数
- 级数敛散性 = 数列和的敛散性 = 函数积分的敛散性
- 第一个等号的本质是收敛定义，第二个等号的本质是在定义法求积分的过程使用夹逼定理
交错级数敛散性
- 莱布尼兹判别准则法（收敛充分条件）：适合交错级数
- 数列项的绝对值递减，极限处等于0
- 绝对收敛法（收敛充分条件）：适合任意级数
- 每一项取绝对值后的级数收敛（绝对收敛），则原级数收敛
- 之所以是充分条件，考虑到原级数收敛，不一定就绝对收敛，也可能条件收敛
- 加括号法（收敛必要条件）：适合任意级数，但主要应用于交错级数
- 加括号后的级数发散，则原级数发散
- 正项负项法：适合任意级数、交错级数
- 考虑把级数拆分为正项的和、负项的和两个子级数
- 两个都收敛，则原级数绝对收敛
- 两个都发散，则原级数条件收敛或发散
- 一个收敛，一个发散，则原级数发散
任意项级数敛散性
- 前面分析的适合任意级数的方法都可以使用
证明题和综合题
- 基本思路：从定义出发分析，可以使用前面的级数敛散性判定方法
- 常用定理：数列的单调有界定理、夹逼定理
- 冷僻结论：数列的极限 = 数列前n项平均值的极限
- 常考题型：
- 问题：给出数列递推式，求收敛值
- 方法
- 首先证明收敛性，比如用数列单调有界定理
- 然后求收敛情况下可能的收敛值，一般是取极限、解方程
函数项级数
理解铺垫
- 函数项级数的理解：
- 常数项级数可以理解为一个常数
- 函数项级数，也可以理解为一个函数（一个x映射到唯一的常数项级数）
- 收敛域的理解
- x取某值时，所映射的级数收敛，该值为收敛点
- 收敛域是所有收敛点的集合
- 函数和函数项级数的关系
- 在收敛域上，x可以映射到唯一的一个数，此时函数项级数就是函数，叫做和函数，两者只是表达形式有所不同，值相同
- 函数项级数是和函数在收敛域上的展开
- 和函数是函数项级数在收敛域上的和值
幂级数
- 收敛半径R：x大于R，幂级数发散；x小于R幂级数绝对收敛；x等于R单独考虑敛散性
- 收敛区间
- 定义：(-R，R)，不包括收敛半径的端点，开区间
- 求法：幂级数取绝对值，用正项级数比较判别法或根值判别法进行分析
- 作用：幂级数
的和函数 在收敛区间上 - 连续
- 可导且可逐项求导，即
- 可积分（从0到x）且可逐项积分，即
- 收敛区间是不包括端点的，如果要考虑幂级数的和函数从0到R是否可以逐项积分，则要求
- 和函数的原函数左连续性：和函数从0到R积分 = 和函数从0到极限接近R处的积分
- 幂级数逐项积分后的级数收敛性
泰勒级数
- 泰勒级数泰勒中值定理的区别是
- 前者把函数展开为无穷项
- 后者把函数展开为有穷项+带
余项的形式
- 要记住常见麦克劳林级数
- 记忆方法：当k为正整数时就是二项式展开
- 收敛区间：建议记住为
，收敛域取决于
- 记忆方法：其实是
一种特例 - 收敛域：
- 记忆方法：其实是
- 记忆方法：其实是
一种特例 - 收敛域：
- 记忆方法：其实是
- 记忆方法：
进行逐项积分 - 收敛域：
- 记忆方法：
- 记忆方法：本条开始全是带阶乘的形式且收敛域都是双无穷区间，可以通过
和 的等价无穷小关系联想 - 收敛域：
- 记忆方法：本条开始全是带阶乘的形式且收敛域都是双无穷区间，可以通过
- 记忆方法：通过
和 等价无穷小联想 - 收敛域：
- 记忆方法：通过
- 记忆方法：记住了
的展开，不难联想 的展开 - 收敛域：
- 记忆方法：记住了
幂级数的收敛域
- 先求收敛区间（收敛半径），前面已经提到过
- 再考虑端点敛散性
幂级数展开
- 不推荐用泰勒级数直接展开
- 用前面的7个常用麦克劳林级数进行配凑
- 配凑方法有
- 级数每一项同时提出一个x或凑出一个x
- 逐项求导或逐项积分，需要对导数表和积分表熟悉
- 配凑的注意事项
- 注意各常用麦克劳林级数的首项，防止下标开始位置出错
- 注意考虑麦克劳林级数的收敛域
- 注意配凑时除以x，要讨论x为0的情况，否则定义域有问题
- 注意级数在和式中如果有
的项，一律按 处理，哪怕是 的情况也按 处理
- 默认情况需要给出收敛域
函数在某点的高阶导数
- 使用幂级数展开
- 低阶项求导后为0
- 题目往往设置某点的值，恰好使得高阶项全部为0
级数求和
- 常数项级数求和
- 数列求和直接计算
- 利用常用麦克劳林展开进行配凑（如级数每一项提出x、凑x、逐项积分、逐项求导等），需要思考哪个常数部分是x，要求常数在收敛域范围内
- 函数项级数求和：核心还是配凑，如级数每一项提出x、凑x、逐项积分、逐项求导等
傅里叶级数
理解铺垫
- 傅里叶级数指的是把周期函数展开为每一项为正余弦的三角级数
- 因为和函数是周期函数，展开的每一项也是周期函数，所以实际问题中往往只需要考虑一个周期的展开即可（很多教材没有指明这个点，很容易造成迷惑）
- 因为只需要考虑一个周期，一般选择关于原点对称的区间，方便计算。即使问题不是问原点对称区间的情况，也可以先计算原点对称区间的展开，然后补充一个利用函数周期性的步骤
- 一般考虑周期为
和 两个情况
傅里叶级数的收敛性
- 课本的狄利克雷定理对周期函数一个周期上的连续情况进行讨论
- 实际上可以在实数域上考虑，定理等价精简为
- 如果周期函数一个周期内只有有限个第一类间断点（跳跃、可去）和有限个极值点，则函数的傅里叶级数收敛
- 在周期函数连续处，傅里叶级数收敛于周期函数
- 在周期函数间断处，傅里叶级数收敛于间断两侧的平均值
周期函数的傅里叶展开
- 这里之所以用
而不是 ，因为周期函数在间断点不等于傅里叶级数 - 需要根据周期函数，分析傅里叶级数的收敛性，如果级数收敛且没有间断点，
可以改写成 - 利用奇偶展开来辅助理解和记忆
- 如果
是偶函数 - 则
为奇函数 - 则
- 则
- 则级数的每一项都是偶函数余弦
- 傅里叶偶展开又叫傅里叶余弦展开
- 则
- 如果
是奇函数 - 则
为奇函数 - 则
- 则
- 则级数的每一项都是奇函数正弦
- 傅里叶奇展开又叫傅里叶正弦展开
- 则
- 如果
周期函数的拓展
- 奇偶拓展（正余弦展开）：如果已知一个定义在原点单侧的区间上的函数，对其进行傅里叶奇展开或偶展开的步骤为
- 先把该函数当奇函数或偶函数拓展
- 再用周期函数性质把该函数拓展到整个R区间内
- 最后对该周期函数进行傅里叶展开并分析收敛性（
看情况改写为 ）
- 任意区间拓展：如果已知一个定义在非原点对称区间上的函数，对其进行傅里叶展开的步骤为
- 利用周期函数性质把该函数拓展到整个R区间内
- 对该周期函数傅里叶展开并分析收敛性（
看情况改写为 ） - 回答在给定区间上的展开情况（用
连接函数和傅里叶级数）
