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- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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函数
- sgn函数
- 有界性
- 可以从最值出发得到有界性
- 可以从极限定义出发得到有界性
- 可以从连续性出发得到有界性
- 有限区间上，导函数有界，则原函数有界
极限
- 数列的极限
- 函数的极限
- 无穷大
- 定义：按前面极限的定义
- 注意无穷大属于极限不存在的情况
- 无穷小
- 定义：按前面极限的定义，且
- 比较
- 同阶：比的极限为常数
- 等价：比的极限为1
- 高阶：比的极限为0
- 低阶：比的极限为无穷大
- 极限存在定义：左右极限相等
- 保号性：函数的极限存在，存在去心邻域使得函数和极限同号
- 两个极限存在法则
- 两个基本极限
- 等价无穷小替换的原理
- 洛必达法则
- 适用条件
- 0比0型
- 分子分母去心领域内可导且分母导数非0
- 导数比值的极限存在或无穷
- 除非有变限积分函数，不推荐使用该法则
- 该法则算不出结果不代表一定没有结果
- 该法则的每一次求导，都要验证使用条件
- 带佩亚诺余项的泰勒公式
- 极限计算的思路
- 尽量化简、提取极限非0的因式
- 等价无穷小、洛必达、泰勒
- 导数定义、积分和式定义
- 夹逼定理、单调有界定理
- 递推形式的数列极限
- 先假设存在，求出唯一可能的极限
- 再证明存在性，一般用夹逼、单调有界等
- 复合函数的极限
- 内函数在处有极限，在某个的去心领域内不等于
- 外函数在处有极限
- 则复合函数在处有极限
连续
- 左连续
- 右连续
- 连续
- 间断
- 第一类
- 可去间断：极限存在，但不等于函数值
- 跳跃间断：左右极限存在，但不等
- 第二类
- 无穷间断：极限不存在，无穷的情况
- 振荡间断：极限不存在，非无穷的情况
- 复合函数连续性
- 内函数在连续，函数值
- 外函数在连续
- 则复合函数在连续
- 闭区间上连续函数的性质
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