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- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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微分
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- 可微可导连续
- 反函数的导数
- 变限积分求导
- 参数式求导
- 隐函数求导
- 反函数求导
导数的应用
- 单调性
- 严格单调：没有常数区间的单调
- 单调：在常数区间外，单调
- 极值
- 必要条件：若可导，则导数为0
- 充分条件一：极值点处连续、去心邻域内可导、左右侧导数异号
- 充分条件二：极值点处二阶可导，且一阶导为0，二阶导不为0
- 可疑极值（所有可能是极值的点）
- 凹凸性
- 定义：弦在弧上方是凹，弦在弧下方是凸
- 判断：要求一阶导没有常数区间，此时二阶导非正为凸、非负为凹
- 拐点
- 定义：凹凸的分界点
- 必要条件：若可二阶导，则二阶导为0
- 充分条件一：拐点处连续、去心邻域内可二阶导、左右侧二阶导异号
- 充分条件二：拐点处三阶可导，且二阶导为0，三阶导不为0
- 驻点
- 最值
- 闭区间问题
- 求内部的可疑极值点的函数值
- 求两端点的函数值
- 取其中最大者为最大值，最小者为最小值
- 应用问题
- 渐近线
- 曲率
- 曲率半径
- 曲率圆中心
- 按递增的凹函数的情况推导，用曲率半径表达出通用公式
- 曲率圆中心相对于函数点的位置，横坐标减，纵坐标加，且二阶导为正
中值定理体系
- 费马定理
- 内容：极值点处，若可导，则导数为0
- 证明：以极大值为例，左导数大于等于0，右导数小于等于0，故导数等于0
- 罗尔定理
- 内容：闭区间连续，开区间可导，两端相等，则开区间内有驻点
- 证明
- 若开区间内为常数，则有驻点
- 否则根据闭区间连续，得出开区间内有最值点，显然是极值点；又开区间内可导，根据费马定理，极值点为驻点
- 拉格朗日中值定理
- 内容：闭区间连续，开区间可导，开区间内存在一个点的斜率，等于两端连线的斜率
- 证明
- 构造函数，构造思路是对积分
- 验证构造函数在两端相等，结合罗尔定理即可
- 柯西中值定理
- 内容：两个函数都闭区间连续，开区间可导，，则
- 证明
- 构造函数，构造思路是对积分
- 验证构造函数在两端相等，结合罗尔定理即可
- 洛必达法则
- 内容：当分子分母极限为0、去心邻域内分子分母导数存在且分母导数不为0、导数比值的极限存在或无穷，则
- 证明
- 泰勒中值
- 佩亚诺余项：若在处n阶可导，则可在邻域内展开为
- 拉格朗日余项：若在某邻域n+1阶可导，则在可在邻域内展开为
- 注：前者一般用于极限计算，后者一般用于不等式证明
- 积分中值定理
- 内容：闭区间连续，则
- 证明1
- 闭区间连续，则原函数存在，可以使用牛顿莱布尼兹定理（参考第三章）
- 即证明
- 闭区间连续，开区间可导，用拉格朗日中值定理即可
- 证明2
- 设
- 放缩分子的积分式，得到
- 因为闭区间连续，再用介值定理即可
- 广义积分中值定理
- 内容：闭区间连续，闭区间可积且不变号
- 证明1（不严谨的证明，提供一种理解）
- 和闭区间不一定连续，这里不严谨的假设原函数存在，使用牛顿莱布尼兹定理
- 根据前面不严谨的假设，和闭区间连续，开区间可导，用柯西中值定理即可
- 证明2（严谨的证明）
- 设
- 放缩分子的积分式，得到
- 因为闭区间连续，再用介值定理即可
不等式证明
- 单调性法
- 最值法
- 拉格朗日中值定理法
- 拉格朗日余项泰勒公式法
- 双拉格朗日中值定理法
零点存在问题
- 连续函数的介值定理或零点定理
- 罗尔定理
- 仔细体会拉格朗日中值定理和柯西中值定理的构造过程，其他的零点存在问题也是此思路
- 构造时涉及积分，可以考虑补上等函数（求导后可以提取出公因式）
高阶导数的零点界限
- 结论1：函数至少个零点，则其导函数至少个零点
- 结论2：导函数至多个零点，则原函数至多个零点
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