【知识总结】 第五章-特征值和特征向量

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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特征值和特征向量

定义和理解

• 定义：且
  • 为的特征值
  • 为的特征向量
• 向量空间角度理解
  • 把矩阵看作线性变换，特征向量经过该变换后发生了伸缩
• 线性方程组角度
  • 相等于且

相关概念

• 特征方程
• 特征多项式
  • 是特征值
• 特征矩阵

两个性质

• 特征值的和 = 矩阵的迹
• 特征值的积 = 矩阵的行列式

求解方法

• 具体矩阵：先利用特征多项式等于0解出特征值，再用特征方程解特征向量
• 抽象矩阵：使用定义求解
  • 结论：的特征值是，则的特征值一般是，特征向量一般不变
  • 补充说明
    • 具体计算需要按定义，该结论仅供验证结果
    • 如果是多项式函数，该结论是正确的
    • 该结论一般不显式的提问，而是作为中间处理的一步，因此需要有主动使用的意识

证明两个矩阵特征值相等

思路包括 + 证明特征多项式相等 * 最常用的方法，等价条件 + 证明两个矩阵相似 * 是特征值相等的充分条件 + 按特征值定义证明 * 构造特征向量是一个难点

相似矩阵

• 定义：即存在可逆矩阵，使得
  • 相似变换指的是，是可逆矩阵
• 必要条件：相似矩阵的特征值、特征多项式、秩相同
• 相似关系是等价关系，有自反性、对称性、传递性

相似对角化

• 相似对角化方法：详见第二章，矩阵的相似对角化分解
• 对角化后的矩阵是原矩阵的相似标准形
• 重要结论
  • 不同特征值对应特征向量线性无关
    • 向量线性无关的定义 + 特征向量的定义即可证明
  • 任一特征值的线性无关的特征向量个数小于等于该特征值的重数
    • 证明麻烦，建议记住

实对称矩阵的对角化

• 重要结论
  • 实对称矩阵一定可以相似对角化
    • 说明存在可逆矩阵使得
  • 实对称矩阵不同特征值对应特征向量正交
    • 说明存在正交矩阵使得
    • 即实对称矩阵一定可以正交相似对角化
• 对角化步骤：同一般矩阵，核心是求特征值和特征向量，详见第二章，矩阵的相似对角化分解
• 正交对角化步骤
  • 不同特征值的特征向量已经正交，只需要把同一个特征值的各特征向量正交化即可（正交化方法见第三章）
  • 把所有特征向量单位化，此时所有特征向量是标准正交列向量组，按特征值对应顺序组成正交矩阵

已知特征值特征向量反求矩阵

• 利用相似对角化的结论
  • 可逆时，直接矩阵运算即可
  • 不可逆时，转置等式两侧，相当于计算多个非齐次线性方程组
• 如果是实对称矩阵，可以用正交矩阵来算，用转置运算代替较繁琐的求逆步骤