【知识总结】 第四章-线性方程组

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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克拉姆法则

• 克拉姆法则
  • 当且仅当，方程的唯一解是
  • 其中的第列是右端向量，其他列同
• 则方程有唯一解的原理
  • 由此直接把唯一解算出来了
• 则方程无解或无穷解的原理
  • 把不可逆矩阵可看作不可逆线性变换，理解成单射（没有逆映射）
  • 没有逆映射有两种原因
    • 新坐标系中的向量无法映射到原坐标系的向量（对应方程组无解情况）
    • 新坐标系中的向量映射到原坐标系的多个向量（对应方程组无穷解情况）
• 线性方程组的主要运算在于求逆矩阵
  • 因为求逆矩阵时，伴随矩阵法比初等变换法复杂得多，很少使用
  • 所以解线性方程组时，克拉姆法则比高斯消元法复杂得多，很少使用

齐次线性方程组

• 形式:
• 有解条件：一定有零解
• 基础解系
  • 所有解向量的极大线性无关组
  • 课本的表述为线性无关，且可以线性表出所有解向量的向量组
  • 一定是维非零向量
• 基础解系向量个数
  • 从向量空间角度理解
    • 基础解系，就是找到所有的线性无关的非零列向量，和的行向量正交
    • 本质是，在维度向量空间中，正交于维子空间（由行向量张成）的非零且线性无关的向量有个
    • 例如三维空间中，和某个二维平面垂直的线性无关非零向量，最多找到一个
• 通解：由基础解系线性表出即可
• 通解求法
  • 初等行变换把变成行阶梯型矩阵
    • 接下来只需要解同解方程组
    • 本质就是高斯消元法
  • 个独立变量和个自由变量
    • 每次只选一个自由变量取，其他取，算出独立变量，得到一个解向量
    • 选次自由变量，得到基础解系

非齐次线性方程组

• 形式:
• 有解等价条件：
• 解的性质：两个解的差值是对应齐次线性方程组的解
• 通解结构：找到一个特解，再加上对应齐次线性方程组的通解
• 通解求法
  • 初等行变换把变成行阶梯型矩阵
    • 接下来只需要解同解方程组
  • 个独立变量和个自由变量
    • 自由变量取，算出一个特解
    • 每个自由变量分别取，算出对应齐次线性方程组基础解系
  • 利用非齐次线性方程组的通解结构即可

由基础解系求方程组

• 已知个方程个未知量的齐次线性方程组的基础解系为
• 即
• 即
• 新方程解出来的基础解系的向量个数为
  • 可以根据该基础解系确定原方程的系数矩阵行向量

两个方程组的公共解

• 法一：直接解联立方程组
• 法二：先解一个方程组，再代入另一个方程组
• 法三：分别解两个方程组得到各自的通解，令两个通解相等，解关于通解的参数的方程组

同解方程组

• 定义法（推荐使用）：证明一个方程组的解也是另一个方程组的解（两个方向都要证明）
• 初等行变换：只经过初等行变换（不改变方程的解），可以将两个方程组的（系数矩阵和右端向量的）增广矩阵相互转换，则说明是同解方程组
• 线性表示法：两个方程组的增广矩阵的行向量相互可以线性表出

解线性方程组应用于可逆矩阵

补充一个技巧：计算可以规约为解方程