【知识总结】 信号与系统导论

信号基本概念

• 信号的定义
  • 随时间变化的某种物理量
    • 比如电信号、声信号、光信号、图像
    • 信息的表现形式和传送载体
• 信号的时域描述方式
  • 函数式描述
  • 图形（波形）描述

信号的分类

• 确定信号和随机信号
  • 确定信号：能用确定时间函数表示的信号
  • 随机信号：不是时间的确定函数
    • 也叫不确定信号，比如噪声
• 连续信号和离散信号
  • 连续信号：观测过程的连续时间范围内信号有确定值
    • 允许在时间定义域上存在有限间断点
    • 用表示
    • 模拟信号：任一时刻取值也连续的连续信号
    • 脉冲信号：连续信号幅度量化后变成脉冲信号
  • 离散信号：信号仅在规定的离散时刻有定义
    • 用表示
    • 数字信号：取值离散的离散信号
    • 连续信号时间量化后变成抽样离散信号，再进行幅度量化后变成数字信号
• 周期信号和非周期信号
  • 周期信号：满足或
  • 非周期信号：不满足周期信号定义的信号
• 能量信号和功率信号
  • 归一化能量定义
  • 归一化功率定义
  • 能量信号
  • 功率信号

信号的基本性质

连续时间信号

时域描述

• 典型普通信号
  • 直流信号
  • 正弦信号
  • 实指数信号
  • 虚指数信号
    • 周期满足
  • 复指数信号
  • 抽样信号
• 奇异信号
  • 单位阶跃信号
    • 作用：表示任意的方波脉冲信号、作为乘数表示信号的时间范围
  • 冲激信号
    • 狄拉克定义：且
    • 冲激信号的强度：冲激信号对时间的定积分，狄拉克定义中为
    • 筛选特性：
    • 取样特性：
    • 卷积特性：
    • 展缩特性：，说明冲激函数是偶函数
  • 斜坡信号
  • 冲激偶信号
    • 筛选特性：
    • 取样特性：
  • 符号信号

基本运算

• 尺度变换
• 信号翻转
• 时移（平移）
• 信号的相加
• 信号的相乘
• 信号的微分
• 信号的积分

离散时间信号

时域描述

• 基本离散时间序列
  • 实指数序列
  • 虚指数序列
    • 如果是整数，则为周期；如果约分后的分子是整数，则分子是周期；如果不是有理数，则非周期序列
  • 正弦序列
    • 如果是整数，则为周期；如果约分后的分子是整数，则分子是周期；如果不是有理数，则非周期序列
    • 数字角频率表示相邻样值间的弧度变化量
  • 复指数序列
    • 对应增幅信号，对应衰减信号
  • 单位脉冲序列
    • 可以用来表示任意的离散时间信号
  • 单位阶跃序列
  • 矩阵序列
  • 斜坡序列

基本运算

• 翻转
• 位移
• 尺度变换
  • 抽取
    • 原序列每个点抽取一点
  • 内插
    • ，是整数倍
    • ，其他情况
    • 原序列每点之间插入个值为的点
• 序列相加
• 序列相乘
• 差分
  • 一阶后向差分
  • 阶后向差分
  • 一阶前向差分
  • 阶前向差分
• 求和

确定信号的时域分解

• 分解为直流分量和交流分量
  • 连续时间信号
  • 离散时间信号
• 分解为奇分量和偶分量
  • 连续时间信号
  • 离散时间信号
• 分解为实部分量和虚部分量
  • 连续时间信号
  • 离散时间信号
• 连续信号分解为冲激函数的线性组合
  • 即卷积
• 离散信号分解为脉冲序列的线性组合
  • 即卷积和
• 信号分解为任意正交函数基的线性组合
  • 设是一个完备单位正交函数集，则
    • 完备单位正交函数集指的是满足时，为，否则为，并且函数集外不存在其他任何函数满足
    • 星号表示复函数的共轭函数，注意实函数的共轭函数就是自身
    • 如果正交函数集选择虚指数函数集，那么该分解就是傅里叶变换

系统的描述和分类

系统的定义

• 由相互作用和依赖的若干事务组成的具有特定功能的整体
  • 信号由系统产生、发送、传输、接收
  • 系统对信号进行加工、变换、处理

系统的描述

• 输入输出描述
  • 阶微（差）分方程
• 状态空间描述
  • 个一阶微（差）分方程组

系统的分类

连续时间系统与离散时间系统

• 连续时间系统
  • 系统的输入激励和输出响应都是连续时间信号
  • 数学模型是微分方程式
• 离散时间系统
  • 系统的输入激励和输出响应都是离散时间信号
  • 数学模型是差分方程式

线性系统与非线性系统

• 线性系统
  • 同时满足均匀性（齐次性、比例性）和可加性的系统
    • 均匀性：对任意和任意复常数都满足
    • 可加性：对任意和任意都满足
  • 数学模型是线性微(差)分方程
  • 增量线性系统
    • 输出响应的增量和输入响应的增量满足线性特性，比如
    • 等效为一个线性系统加上与输入无关的响应，即
    • 是零状态响应，是零输入响应
• 非线性系统
  • 不具有线性特性的系统

时不变系统与时变系统

• 时不变系统
  • 时不变系统满足条件
  • 即输入信号有一个时移，输出相应也有同样的时移，除此之外无响应其他变化
  • 由定常系数的线性微（差）分方程式描述
• 时变系统
  • 不满足时不变的条件的系统

因果系统与非因果系统

• 因果系统
  • 任何时刻的输出都只和当前的输入以及以前的输入有关，和以后的输入无关
• 非因果系统
  • 不满足因果系统的条件的系统
  • 物理不可实现

稳定系统与非稳定系统

• 稳定系统
  • 当输入有界时，输出也有界
• 不稳定系统
  • 不满足稳定系统的条件的系统