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- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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原函数和不定积分
- 原函数
- 不定积分
- 原函数存在性（不定积分存在性）
- 函数闭区间连续，则存在闭区间的原函数
- 函数闭区间，若间断点只有振荡间断点，则存在闭区间的原函数
定积分
- 定积分
- 分割、乘积、求和、取极限，若极限存在，则该极限为定积分
- 定积分存在性
- 函数闭区间连续，则存在该区间上的定积分
- 函数闭区间有界，间断点有限，则存在该区间上的定积分
- 不定积分和定积分的关系
- 存在性互不相关
- 若函数闭区间连续，则不定积分和定积分都存在
- 定积分表示原函数（变上限积分）：
- 原函数表示定积分（牛顿-莱布尼兹定理）：
- 若函数闭区间有一个跳跃间断点，其余位置连续，设
- 分析1：根据存在性判定，闭区间不存在原函数，但存在定积分，说明存在某些位置不可导，或
- 结论1：闭区间连续
- 结论2：非间断位置，
- 结论3：间断位置，
- 分析2：间断点是跳跃间断点，则不可导
- 分析3：间断点如果改成可去间断点，则（不一定严谨，因为不清楚前面结论是否还成立）
- 定积分的性质
积分方法
- 建议记忆的积分公式
- 第一类换元积分法
- 第二类换元积分法
- 比如带根式的积分，可以换元为三角函数积分，或直接换元为形成有理函数积分
- 定积分与不定积分的换元积分的注意事项
- 定积分的换元法的上下限要调整对应的值
- 不定积分的换元法的结果表示要换元回原字母
- 分部积分法
- 有理函数积分（分子和分母都是多项式形式）
- 思想：把分母因式分解，然后拆项
- 步骤
- 解分母等于的方程，从而把分母因式分解为若干项，但只有两种形式，一种实根对应项，另一种是复根对应项
- 拆项后待定系数为
- 拆项后待定系数为
- 举例
- 用于定积分计算的结论
- 偶函数对称区间的定积分为2倍单侧区间的定积分
- 奇函数对称区间的定积分为0
- 周期函数每个周期的定积分相等
- 华里士公式
- 万能代换
- 带绝对值的积分
- 建议分段去掉绝对值符号，哪怕要分无穷段（比如三角函数带绝对值）
反常积分的计算和判敛
- 无穷区间的反常积分
- 上限和下限都为无穷时，需要拆成两项
- 根据极限定义判定各项是否收敛（无穷处的极限）
- 只有各项全部收敛，原极限收敛
- 无界函数的反常积分（瑕积分）
- 有多个瑕点（即无界的间断点，例如无穷间断点），需要拆成多项，使得每个积分项的上下限中只有一个瑕点
- 根据极限定义判定各项是否收敛（瑕点某单侧的极限）
- 只有各项全部收敛，原极限收敛
- 建议记忆的反常积分
-
- ，则，收敛
-
- 本质上是阶乘的插值函数，这里只用到其自然数定义域的部分
- 收敛判定方法
- 通过计算出结果判敛
- 通过单调有界收敛定理
- 通过判敛定理（都是收敛或发散的充分条件，建议记忆）
- 要求：定义区间内连续，
- 区间右端点为瑕点：
- 区间左端点为瑕点：
- 右侧为无穷区间：
- 左侧为无穷区间：
- 收敛情况记忆：，瑕积分对应，无穷区间积分对应
- 发散情况记忆：，瑕积分对应，无穷区间积分对应
定积分的应用
- 平面图面积、平面曲线弧长、旋转体体积、旋转面面积，一律按微元法列方程，然后积分即可
定积分的有关证明
- 有绝对值时，一般要划分区间，去掉绝对值
- 积分中值定理（包括广义积分中值定理）
- 积分的不等式相关问题
- 积分保号性
- 放缩和夹逼准则
- 引入变量转化为变限积分
- 利用柯西不等式积分形式的证明原理
- 形式：方和积积和方
- 证明：引入变量转化为变限函数，再利用完全平方公式和保号性
- 变限积分函数有关问题
- 零点问题
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