【知识总结】 第七章-参数估计

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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本章旨在根据抽样结果，对总体分布函数中的参数值进行估计

点估计

矩估计法

• 估计量
  • 作为参数的估计结果的统计量
• 估计值
  • 估计量的观测值
• 步骤
  • 令样本原点矩的观测值等于总体分布的原点矩（实际不一定相等，只是估计）
  • 几个未知参数就列几个等式，从一阶原点矩开始列有效等式（等式右侧必须包含参数才有效），然后解方程
  • 参数的估计结果要写成，并注意是矩估计量还是矩估计值

极大似然估计法

• 本质
  • 求参数为多少时，样本值出现的概率（或样本联合密度）最大
• 步骤
  • 求似然函数
    • 离散型总体：
    • 连续型总体：
  • 似然函数取对数
    • 变成累加的形式
  • 求最大值对应的参数值
    • 一般令偏导为0即可
    • 似然函数单调时，按定义求最值
    • 似然函数常数时，按定义求最值，估计值不一定唯一
  • 参数的估计结果要写成，并注意是极大似然估计量还是估计值
• 原理
  • 设表示样本随机变量，表示样本值
  • 即
  • 先验情况认为是均匀分布，则
• 不变性原理
  • 若求的是的极大似然估计，必须存在单值反函数，此时

估计量的评价

主要考虑估计量的数字特征的性质

• 无偏估计量
  • 估计量的期望等于参数
• 更有效估计量
  • 估计量的方差更小
• 一致估计量（相合估计量）
  • 估计量依概率收敛于参数
  • 可以计算估计量的方差，然后利用切比雪夫不等式来证明依概率收敛

区间估计

• 显著性水平
  • 接近0的正数
• 置信度
  • 接近1的正数
• 步骤
  • 根据已知条件，构造分布合适的带参数统计量
    • 构造主要考虑常见的抽样分布
  • 计算该统计量的带参数置信区间
    • 默认情况区间是对称的，两端有界
    • 单侧置信区间不对称，一端有界
    • 说明统计值在该区间的概率是置信度
  • 计算参数的带统计值的置信区间
    • 说明参数落在该区间的概率是置信度
  • 该区间就是参数的估计区间
• 统计量构造记忆
  • 单正态总体
    • ：总体方差已知求总体均值
    • ：求总体方差
    • ：总体方差未知求总体均值
  • 双正态总体
    • ：总体方差已知，求总体均值的差
    • ：总体方差未知但相等时，求总体均值的差
    • ：求总体方差的比值