【知识总结】 第二章-随机变量及其概率分布

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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随机变量及其分布函数

• 随机变量：从样本点到某个实数的函数
• 分布函数：
  • 单调非减
  • 右连续

离散型随机变量

• 定义：随机变量的取值为有限个或可数无穷个
• 分布律：算出每个取值的概率
  • 表示：一般用表格列出每个取值的概率
  • 性质：每项非负，总和为1

连续型随机变量

• 定义：能找到一个非负可积的函数，使得随机变量的分布函数
  • 为密度函数
• 性质：连续型随机变量的分布函数一定连续，反之则不一定（比如康托尔函数）
• 密度函数性质
  • 非负
  • 实数域积分为1
  • （不等式端点的概率值为0，可带上可不带上）
  • 密度函数不连续的点，一般认为分布函数不可导（不考虑实变函数、测度论）
  • 密度函数连续的点，概率密度等于分布函数的导数

常见分布

离散型

• 0-1分布
• 二项分布
• 几何分布
  • 参数
  • • 即伯努利试验第次才成功的概率
• 超几何分布
  • 参数
  • • 总共个产品，个次品，抽出件样品，有个次品的概率
• 泊松分布
  • 泊松定理的使用
    • 对于伯努利分布，当大、小、不太大时，可近似为泊松分布

连续型

• 均匀分布
  • • 在上均匀分布
  • • 在上均匀分布
• 指数分布
• 正态分布
  • • 标准正态分布为
  • • 标准正态分布函数，密度函数
  • 性质
  • 标准化
    • 故
    • 即

随机变量函数的分布

即求的分布

离散型

• 列表求解即可，核心是把随机变量的函数中相同的值的概率合并

连续型

• 公式法
  • 要求函数为一一映射，比如单调
  • 利用，得到
• 定义法
  • 利用
  • 往往需要分三段讨论
    • 太小时分布函数为
    • 太大时分布函数为
    • 适中时再深入计算
• 重要结论
  • 任一连续型随机变量，分布函数为，则（用定义法即可证明）