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- 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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二次型的矩阵表示
- 二次型指的是变量的二次齐次多项式
- 要求是对称矩阵，此时二次型和矩阵一一对应
二次型化为标准形
- 标准形：只有平方项的二次型
- 规范性：在标准形基础上，平方项的系数只能是-1、0、1
- 线性变换：即第三章的坐标变换，
- 法一：通过正交变换化为标准形
- 用到了第五章正交相似对角化的内容
- 求解要点
- 求特征值，算出，从而得到标准形
- 求特征向量并正交单位化，给出线性变换
- 法二：通过配方法化为标准形
- 有平方项则配方；无平方项则利用得到平方项，即
- 要给出可逆线性变换和标准形的表示
- 若配方后平方项个数不足原二次型的变量数，则需要补充平方项以保证线性变换可逆（补充方法不唯一，因为标准形也不唯一）
合同矩阵与合同二次型
- 合同矩阵：
即存在可逆矩阵，使得
- 合同关系是等价关系，自反性、对称性、传递性
- 合同变换：双向箭头的右侧部分
- 合同二次型：对原二次型进行可逆线性变换，得到合同二次型
- 惯性定理：二次型的标准形不唯一，但是其正惯性指数、负惯性指数是确定的
- 正惯性指数：标准形正平方项个数
- 负惯性指数：标准形负平方项个数
- 二次型的秩：正负惯性指数的和
- 重要定理：二次型的矩阵的合同变换不改变其正负惯性指数
正定性的证明
- 正定二次型的证明：等价条件如下
- 对任意，有恒成立
- 顺序主子式大于0
- 特征值都大于0
- 二次型正惯性指数等于变量个数
- 存在可逆矩阵，使得
- 因为规范形的平方项系数全为1，对应二次型的矩阵表示为
- 正定矩阵：正定二次型的矩阵表示
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