【知识总结】 第二章-矩阵

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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伴随矩阵

伴随矩阵的求法

• 定义法
  • 伴随矩阵的第行第列的值是原矩阵第行第列的代数余子式
  • 注意这里有一个转置操作
• 性质法
  • 注意这种方法求伴随矩阵要求可逆，此时

伴随矩阵相关证明

• 思路
  • 一般会用到伴随矩阵的性质出发
  • 结合矩阵运算法则
  • 一般会用到表达式中其他操作的定义
• 举例：证明
  • 即证明（可逆操作的定义）
  • 即证明（矩阵基本左乘右乘法则）
  • 即证明（伴随矩阵的性质、行列式运算法则）

初等变换

• 初等变换
  • 倍乘变换
  • 互换变换
  • 倍加变换
• 初等矩阵：对单位矩阵初等变换
  • 倍乘矩阵
  • 互换矩阵
  • 倍加矩阵
• 常用性质
  • 性质1：左（右）乘初等矩阵作对应的初等行（列）变换，不改变矩阵的型和秩
  • 性质2：可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵的乘积，即可以通过初等行变换转换为单位矩阵
    • 后面矩阵初等变换分解的一个推论
  • 性质3：两个矩阵是等价矩阵（关系符号是）两个矩阵可以通过有限次初等变换相互转换两个矩阵同型且秩相同
    • 第一个到第二个：等价矩阵的定义
    • 第二个到第三个：初等变换不改变矩阵的型和秩
    • 第三个到第二个：先用矩阵的初等变换分解，再利用左右乘初等矩阵等价于作相应初等变换

可逆矩阵

判断矩阵是否可逆

该问题是行列式一章中，判断行列式是否为0的镜像问题

下面条件是等价的

• 行列式：
• 矩阵：可逆，即存在，使得
• 秩：
• 向量：的各行（列）向量线性无关
• 线性方程组：有唯一零解（根据线性方程组解的结构也可以说有唯一解）
• 特征值：所有特征值

求逆矩阵基本思路

• 利用伴随矩阵的性质
• 初等变换法
  • 经过初等变换
• 可逆矩阵定义法
  • 存在，使得
• 已知
  • 根据和可逆矩阵定义，可以得到的逆矩阵

秩的相关结论和证明

本节利用线性方程组或向量组来证明结论，理解本节有利于思考其他的和秩有关的证明题

• 结论1：有列，有行，，从线性方程组角度证明：
  • 根据的每一列都是齐线性方程组的解向量
  • 线性无关的解向量个数为
• 结论2：，从线性方程组角度证明：
  • 的解向量是的解向量
    • 因为
  • 的解向量是的解向量
    • 因为
• 结论3：，从列向量组角度证明：
  • 的所有列向量和的所有列向量组构成的列向量组秩不超过
  • 的列向量都是的列向量和的列向量的线性组合，则
• 结论4：，从线性方程组角度证明：
  • 的解向量是的解向量
    • 因此
  • • 因此
• 结论5：，根据伴随矩阵性质以及结论4证明
• 结论6：，根据伴随矩阵定义、性质以及结论1证明
  • 有阶子式行列式非零，则
• 结论7：，根据伴随矩阵定义证明
  • 所有阶子式行列式为零，则

矩阵的分解

矩阵的向量乘法分解

把矩阵分解为向量矩阵的乘积

• 设，则可以分解为两个向量矩阵的乘积
• 作用1：矩阵的迹
• 作用2：

矩阵的加法分解

• 分解操作为：
• 常见的用法
  • 求的高次幂：，结合二项式定理计算
  • 把行列式计算问题转化为求特征值问题：
    • 是已知量，在被分解后即可确定
    • 是的特征值

矩阵的初等变换分解

• 已知矩阵的秩为，则
  • 的等价标准形是
  • 存在可逆矩阵和，使得

矩阵的相似对角化分解

• 根据特征值的定义
  • 的特征向量为
  • 特征矩阵
• 当可逆时，

矩阵的分块分解

• 含义：把矩阵分块为行向量或列向量
• 应用：主要和其他问题结合使用，详见后面的“矩阵乘法分解”、“矩阵乘法等式转化”

矩阵的矩阵乘法分解

• 含义：矩阵以行（列）向量分块分解的形式给出，可以将其分解为两个矩阵的乘积
• 方法：比如矩阵以列向量分块分解形式给出
  • 的列向量的极大无关组按列排成矩阵
  • 因为极大无关组可以表示原向量组，因此可以分解为和一个矩阵的乘积
• 举例：

矩阵的乘法

对角矩阵的乘法

• 推广1：对角矩阵的高次幂运算
• 推广2：对角矩阵的逆矩阵求解
• 推广3：分块对角矩阵的乘法、幂运算

求矩阵的高次幂

• 向量乘法分解法
  • 前面矩阵向量乘法分解小节提到过
  • 当，
• 加法分解法
  • 前面矩阵加法分解小节提到过
  • 需要再使用二项式定理展开
• 对角分块矩阵法
  • 前面对角矩阵乘法小节提到过
• 相似对角化分解法
  • 前面相似对角分解小节提到过
  • 当矩阵有n个线性无关的特征向量，把矩阵相似对角化后再计算高次幂
• 规律归纳法
  • 当矩阵秩不高的时候，尝试计算几次幂，找规律
  • 如果需要严格证明，则使用数学归纳法

矩阵乘法的转化

使用前面所说的矩阵的分块分解法，把矩阵乘法等式条件，转化为等价的条件形式，方便处理

转化为线性方程组条件

• 矩阵乘法等式：
• 转化方法
  • 把和分块为行向量，的每一行都是齐次线性方程组的解
  • 或把和分块为列向量，的每一列都是齐次线性方程组的解

转化为向量组线性表示条件

• 矩阵乘法等式：
• 转化方法
  • 把和分块为列向量，的列向量都可以由的列向量线性表示
    • 可以结合前面的矩阵的矩阵乘法分解小节的例子进行思考
  • 或把和分块为行向量，的行向量都可以由的行向量线性表示