【知识总结】 第一章-行列式

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
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拉普拉斯展开式

• 和分别是阶矩阵和阶矩阵

范德蒙行列式

爪型行列式

• 形式：
• 解法：把第列以外的第列，按某个比例加到第列，消去第列的第行元素

代数余子式

代数余子式相关问题考虑根据下面的思路

• 代数余子式定义：直接计算
• 行列式构造：利用某行代数余子式与该行元素值无关，构造新的行列式
• 行列式定义：行列式的值等于其任意一行（列）的元素与该行（列）代数余子式的乘积和
• 行列式性质：行列式任意一行（列）的元素与其他任意行（列）代数余子式的乘积和等于0
• 伴随矩阵定义：矩阵的伴随矩阵的第i行第j列元素等于矩阵的行列式第j行第i列的代数余子式

数字型行列式计算

基本操作

• 不断把某行的k倍加到另一行，进行化简
• 按行或列展开，进行降阶

行列式拓展

转化为求特征值问题

• 详见第二章矩阵笔记的矩阵加法分解部分

三对角型行列式

• 求解
• 核心思路
  • 把展开
  • 算出递推式：
  • 算出和
  • 如果题目是计算，则用数列知识继续算
  • 如果题目是证明，考虑数学归纳法比较方便

抽象型行列式计算

主要是利用一些行列式性质来算，比如

判定行列式是否为零

下面条件是等价的

• 行列式：（可用各种性质直接计算）
• 矩阵：不可逆
• 秩：
• 向量：的各行（列）向量线性相关
• 线性方程组：有非零解
• 特征值：存在