【知识总结】线性代数概要与提高

本节是对线性代数的回顾和补充

矩阵乘法与分块矩阵

基本概念

- 数域上的矩阵的全体
或
- 全体方阵
或
- 单位矩阵
- 矩阵的共轭矩阵
  - 共轭矩阵指把矩阵每个元素都取共轭
或
- 矩阵的共轭转置
- 本体系在复数域讨论问题，伴随矩阵用表示
  - 如果只考虑实数域，伴随矩阵仍常用
- 基本矩阵
  - 第行第列元素为，其他元素都为
- 矩阵第行
- 矩阵第列
- 第个元素为1其余元素为0的列向量
或
- 矩阵的行列式
- 矩阵的迹

矩阵迹的性质

- 这里可以不是方阵
- 注意这里每个元素都是复数

逆矩阵的性质

可逆矩阵和任何矩阵乘积不改变该矩阵的秩

秩的估计

Sylvester不等式
- - 是的列数、的行数
- 证明如下
  - 左边的秩为，右边的秩不小于

矩阵的直和

分块对角矩阵可以用矩阵的直和方式表示，如下

线性方程组与n维线性空间

线性方程组解的结构、线性无关和线性相关、极大线性无关组、齐次线性方程组基本定理、线性方程组基本定理等相关概念都和实数域类似，这里略。
满秩分解
- 设，如果列满秩矩阵和行满秩矩阵使得，则称是的一个满秩分解
- 方法一
  - 存在可逆矩阵，使得
- 方法二
  - 把矩阵经过行变换化为Hermite标准形（简化行阶梯形）
  - 设，且第行的先导元素所在列标为
  - 是的满秩分解
当的系数矩阵为
- 基础解系对应线性空间的基
- 基础解系中解向量的个数对应着线性空间的维数

特征值与矩阵的相似对角化

特征值的几何重数
- 该特征值对应特征向量张成的特征子空间的维数
矩阵的谱
- 矩阵所有特征值的集合
矩阵的谱半径
- 矩阵特征值的最大模
特征值的代数重数
- 设
- 正整数是特征值的代数重数
特征值的性质
- 可逆等价于不是的特征值
- 设是任意多项式，是的特征值，是对应特征向量
  - 则是的特征值，是对应特征向量
- 设可逆且
  - 则
  - 且若是属于特征值的特征向量，则是属于特征值的特征向量
- 特征值几何重数不超过代数重数
- 相似矩阵的特征多项式相同
  - 从而特征值也相同
特征向量的性质
- 属于不同特征值的特征向量线性无关
- 阶矩阵可对角化有个线性无关的特征向量有一组由的特征向量组成的基
- 对角化主定理：阶矩阵可对角化的每个特征值代数重数和几何重数相等
  - 若特征值代数重数和几何重数相等，考虑到特征值代数重数的和是，则有个线性无关的特征向量，从而可以对角化
  - 若可对角化，则存在可逆矩阵和对角矩阵使得,即，此时对于每个特征值已经找到了个线性无关的特征向量，故对于每个特征值都有几何重数大于等于代数重数。又由几何重数不大于代数重数，故几何重数等于代数重数

线性空间

加群或交换群，满足下列性质的“”运算的几何
- 封闭性
- 结合律
- 交换律
- 存在零向量
- 存在负向量
满足除了交换律之外的性质的集合叫做群
- 此时运算一般用乘法“”而不是“”
线性空间的两个特点
- 线性空间是加群（向量的加运算）
  - 更一般的是加群（矩阵的加运算）
- 中的数可以和的元素作数乘运算，且满足下面四个条件（记为）
  - 数乘的结合律
  - 数乘关于向量的加法分配律
  - 数乘关于数的加法分配律
  - 数乘的初始条件，其中
线性空间的定义（由上面两个特点导出）
- 设是一个加群，如果定义了数域的数和中元素（即向量）的数乘（记为），则称是数域上的线性空间（向量空间）
  - 数域称为线性空间的基域（本体系默认以数域作为基域）
线性空间的相关定义
- 若线性空间中存在的个线性无关向量，且线性空间中任何向量都和它们线性相关
  - 该向量组是线性空间的一组基
  - 向量组的向量是基向量
  - 该向量组的向量个数是线性空间的维数，记作
- 平凡线性空间或零线性空间
  - 维数为零
线性空间相关定理和推论
- 线性空间中的任意向量可以唯一的由基线性表示
  - 表示时的组合系数就是该向量在这组基下的坐标，一般写成列向量的形式
- 维线性空间的任意个向量必线性相关
  - 可以用线性方程组的解的知识来证明，此处略
- 维线性空间的任意个线性无关向量均构成一组基
  - 反过来任意一组基恰含有个向量
- 维线性空间的任意个线性无关向量均能扩充成一组基
过渡矩阵和坐标变换相关理论
- 在线性代数中有详细讨论过，推广到复数域结论类似，此处略

内积空间与正定二次型

内积空间
- 设是实数域或复数域，是对应线性空间。若对任意两向量都定义了中的一个数使得下述条件满足，则是内积空间
  - 共轭对称性
  - 正定性且仅当时取等号
  - 双线性
- 若，则内积空间是欧氏空间
- 若，则内积空间是酉空间
向量的模
- - 单位向量的模为
内积与范数的性质
- 且等号成立与线性相关
  - Cauchy-Schwarz不等式
- - 三角不等式
内积的定义
- 欧式空间
- 酉空间
正交相关定义
- 两个向量正交
  - 内积为
- 正交组
  - 一组两两正交的向量组
- 标准正交组
  - 单位向量构成的正交组
- 酉矩阵
  - 或的一组标准正交基作为矩阵各列
- 正交矩阵
  - 实的酉矩阵
- Hermite矩阵
  - 复共轭对称矩阵
正交相关定理
- 正交组必然线性无关
- 内积空间必存在标准正交基
  - 使用Schmidt正交化方法求解即可
- 矩阵是酉矩阵
  - 特别的矩阵是正交矩阵
- Hermite矩阵特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交
- Hermite矩阵可以酉对角化
  - 存在酉矩阵使得是对角矩阵
  - 特别的，实对称矩阵可以正交对角化
正定相关定义
- 设是复二次型，是Hermite矩阵，若对于任意非零向量均有
  - 则是正定二次型
  - 是正定矩阵
- 类似可以定义半正定、负定、半负定的二次型和矩阵
正定相关定理和结论
- 设是阶Hermite矩阵，则下列条件等价
  - 是正定矩阵
  - 是正定二次型
  - 的特征值均为正实数
  - 存在阶列满秩矩阵，使得
  - 存在阶可逆矩阵，使得
  - 存在阶可逆矩阵，使得（与合同）
- 考虑存在酉矩阵和实对角矩阵使得,则作坐标变换后有
- 设是上的二元向量函数，则是内积存在正定Hermite矩阵，使得，其中是在某组基下的坐标。大概的证明如下：
  - 设维内积空间的一组基是
  - 则
  - 其中且（注意下标次序），既是正定矩阵又是Hermite矩阵，称为基的度量矩阵或Gram矩阵
  - 注：当基选为标准正交基时，，从而简化了内积的运算
矩阵的维双线性型或上的双线性型
- 即
  - 为该双线性型对应的二次型
  - 根据二次型正定半正定的定义，可以相应也定义双线性型的正定和半正定
  - 这里不要求是Hermite的