连续时间信号的频域分析
引言
- 信号分解的基本单元一般满足
- 用基本单元进行线性组合可以简单表示原信号
- 基本单元的响应容易求得
- 信号时域分解的基本单元冲激函数就满足上述条件
- 信号频域分解的基本单元是
- 这里给出该基本单元的响应
- 即
,该基本信号只产生了系数的变化
- 后面的内容会介绍如何把原信号频域分解成基本单元
- 这里给出该基本单元的响应
傅里叶级数
本节介绍狭义的傅里叶级数,默认用在连续周期的时域信号
周期信号的傅里叶级数展开
- 展开条件(Dirichlet条件)
- 在任何周期内绝对可积,即
- 在一个周期内只有有限个有限的不连续点,且这些不连续点的值有限
- 在一个周期内只有有限个极大值和极小值
- 在任何周期内绝对可积,即
- 指数形式傅里叶级数
- 其中
,称为傅里叶级数系数或频谱系数,通常是复数(所以有时叫复振幅) 是基波角频率, 是基波频率
- 其中
- 各项解释
:直流分量 两项:基波频率为 ,合起来为信号基波分量 两项:基波频率为 ,合起来为信号 次谐波分量 两项:基波频率为 ,合起来为信号 次谐波分量
- 三角形式傅里叶级数
- 考虑
是实函数的情况, - 则
- 则
- 因此
- 即
- 即
- 又
,令 ,则有 - 纯余弦形式傅里叶级数
是信号的直流分量 是信号的 次谐波
- 考虑
周期信号的频谱及其特点
- 频谱的概念
- 频谱的函数
,称为频率函数 - 反应组成信号各正弦谐波的幅度合相位随频率变化的规律
- 频谱的函数
- 频谱的表示
是幅度频谱函数 是相位频谱函数
- 画出频谱函数对应的线状分布图形,即频谱图
- 信号的基频和频谱可以确定一个信号
- 频谱的特性
- 离散性
- 谱线间隔
- 信号周期越大,谱线越密集
- 谱线间隔
- 衰减性
- 随着
增大, 衰减并趋近于零 - 信号时域波形变化越平缓,高次谐波越少,幅度频谱衰减越快
- 随着
- 离散性
周期信号的功率谱
- Parseval 功率守恒定理
- 任意周期信号平均功率等于信号包含的直流、基波、各次谐波的平均功率之和
- 周期信号的功率频谱
随 分布情况 - 简称功率谱
傅里叶变换
本节从傅里叶级数引出傅里叶变换,从而无论信号是否有周期性,都可求解频谱
- 从傅里叶级数到傅里叶变换
- 对于非周期信号,可以认为其周期无穷大(
, 是傅里叶系数) - 则频谱满足
- 此时任何频率值对应的频谱函数的值都是无穷小,
- 记
为频谱密度函数,一般简称频谱函数
- 则频谱满足
- 对于非周期信号,可以认为其周期无穷大(
- 频谱函数和频谱密度函数的区别
- 周期信号的频谱是离散的,非周期信号的频谱是连续的
- 周期信号的频谱是
的分布,非周期信号的频谱是 的分布
- 傅里叶反变换
- 写成积分形式,即考虑
时, ,则
- 狄里赫利条件(非周期信号存在傅里叶变换的充分不必要条件)
- 非周期信号在无限区间上绝对可积
- 在任意有限区间内,信号只有有限个最大值和最小值
- 在任意有限区间内,信号仅有有限个不连续点,且这些点都是有限值
- 非周期信号在无限区间上绝对可积
常见连续时间信号的频谱密度
非周期信号
- 单边指数信号
- 双边指数信号
- 单位冲激信号
- 冲激偶信号
- 直流信号
(不满足绝对可积条件,考虑用极限法或逆傅里叶法) - 极限法
时 ,否则 (取 不影响该条件的满足) - 因此
- 逆傅里叶变换
- 极限法
- 符号函数信号
- 考虑到
- 则
- 考虑到
- 单位阶跃信号
- 考虑
- 则
- 考虑
周期信号
- 虚指数信号
- 考虑
- 即利用前面小节,直流信号的频谱的结论
- 则
- 同理
- 考虑
- 正弦型信号
- 一般周期信号
- 把信号在时域展开成傅里叶级数,然后对每一项(虚指数信号)进行变换
- 周期函数的傅里叶频谱是傅里叶级数同位置的冲激
- 即周期信号的两种频谱表示形式(傅里叶变换、傅里叶级数)是统一的
- 单位冲激序列
- 先展开为傅里叶级数
- 注意这里算出
是单位冲激序列的傅里叶系数
- 注意这里算出
- 则
- 先展开为傅里叶级数
傅里叶变换的基本性质
本节直接列出结论,按定义推导从略
- 线性特性
- 若
且 - 则
, 均为常数
- 若
- 时域卷积特性
- 若
且 - 则
- 若
- 共轭对称特性
- 若
- 则
- 当
是实函数, ,即 和 共轭
- 当
- 若
- 时移特性
- 若
- 则
- 信号在时域中的时移,对应频谱在频域的相移
- 若
- 展缩特性
- 若
- 则
- 时域压缩,频域展宽
- 时域展宽,频域压缩
- 若
- 互易对称特性
- 若
- 则
- 若
- 频移特性(调制定理)
- 若
- 则
- 若
- 时域微分特性
- 若
- 则
- 若
- 积分特性
- 若
- 则
- 若
- 频域微分特性
- 若
- 则
- 若
- 频域卷积特性(调制特性)
- 若
- 则
- 若
- 非周期信号的能量谱密度
- 由于
是实数,故 - 帕什瓦尔能量守恒定理:
- 能量频谱密度函数(能量频):
- 由于
抽样信号的傅里叶变换
本节分析抽样时间信号的傅里叶变换,并介绍抽样定理,为后续的离散时间信号频域分析做铺垫
- 时域抽样信号的傅里叶变换
- 设时域抽样信号为
是抽样前的原始连续信号 是抽样脉冲序列(这里只考虑理想抽样,即单位冲激序列,也有矩形脉冲序列等抽样序列),抽样周期为 ,抽样频率为
- 前面已经推导了单位冲激序列的傅里叶变换为
- 由频域卷积特性得
- 即
- 再使用了卷积的延时特性,得
- 理想时域抽样信号在频域内具有周期性,周期为
- 即
- 设时域抽样信号为
- 抽样定理
- 一个频谱受限的信号
,如果频谱只占据 的范围,则抽样间隔 不大于 ,才能保证信号 可以用等间隔的抽样值唯一的表示(不损失信息)。 - 因为
,从而时域的抽样导致的频域的周期化不会出现重叠
- 因为
- 这里的抽样定理指的是时域抽样定理,也有类似的频域抽样定理,这里略
- 一个频谱受限的信号
离散时间信号的频域分析
离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)
本节介绍离散时间信号的傅里叶变换,即序列的傅里叶变换,信号在时域是离散的,频域通常连续(除非信号在时域是周期的)
- 原理
- 信号的周期性对应频谱的离散性
- 信号的离散性对应频谱的周期性
- 离散时间信号对应周期的频谱(密度)
- IDTFT
- DTFT
- 频谱周期是
的表达式是无穷项级数,存在收敛问题
- 频谱周期是
- IDTFT
- DTFT收敛的充分不必要条件
- 若
(绝对可和),则 的DTFT存在且一致收敛于 - 若
不是绝对可和,但是 (平方可和),则 的DTFT存在且以均方差为零的方式收敛于
- 若
离散傅里叶级数(DFS)
本节介绍离散傅里叶级数,信号在时域和频域都是离散周期的
- 考虑复指数信号集
- 因为每个信号都是以
为周期且只有 个信号彼此独立,因此这是一个完备正交基 - 任意以
为周期的序列可以写成该完备正交基的线性组合
- 因为每个信号都是以
- 离散傅里叶级数(DFS)
是 个相连的整数
是 的频谱
- 离散傅里叶级数(DFS)和离散傅里叶变换(DFT)
- 离散傅里叶级数(DFS)是离散周期时间信号的一种频谱表示方式
- 此时信号在时域和频域都是离散的,故直接称之离散傅里叶级数DFS,区别于DTFT的称法
- 连续周期时间信号有傅里叶级数(FS)和傅里叶变换(FT)两种统一的频谱表示形式;离散周期时间信号有离散傅里叶级数(DFS)和离散时间傅里叶变换(DTFT)两种统一的频谱表示形式
- 离散傅里叶变换(DFT)是把有限长时间序列变换到有限长频率序列,以方便计算机处理的一种应用算法
- 大致的思想是把有限长序列作为周期性离散信号的一个周期来处理
- 详见后面傅里叶变换总结和补充
- 离散傅里叶级数(DFS)是离散周期时间信号的一种频谱表示方式
常用信号的离散时间傅里叶变换
- 矩阵脉冲
; - 实指数序列
- 非因果实指数序列
- 双边指数序列
- 考虑
- 考虑
- 离散时间周期信号的傅里叶变换
- 把信号在时域展开成离散傅里叶级数,然后对每一项(虚指数信号)进行变换
- 即使直接使用离散时间信号的变换公式,在计算时可能还要用到傅里叶级数的公式,详见后面周期性样值序列的傅里叶变换推导
- 把信号在时域展开成离散傅里叶级数,然后对每一项(虚指数信号)进行变换
- 常数序列
- 考虑
- 考虑
- 指数序列
- 考虑
- 考虑
- 余弦信号
- 周期性样值序列
- 上面步骤
的证明如下:令 , , ,再证明更一般的结论 ,而把 展成傅里叶级数有 ,即 从而结论成立。 - 末尾步骤
利用了冲激函数性质
- 也可以考虑使用离散周期函数傅里叶变换公式
- 先求出
- 故
- 先求出
离散时间信号傅里叶变换性质
- 周期性
- 若
- 则
- 若
- 线性
- 时移特性
- 若
- 则
- 若
- 频移特性
- 若
- 则
- 若
- 时间反转
- 若
- 则若
- 若
- 共轭对称性
- 若
- 则若
- 进一步可知若
是实信号,则 ,即
- 进一步可知若
- 若
- 卷积定理
- 若
- 则
- 若
- 相乘性质
- 如果
- 则
- 考虑到
周期都是 ,所以上述卷积叫周期卷积
- 考虑到
- 如果
- 频域微分
- Parseval定理
称为 的能量谱密度函数
傅里叶变换总结和补充
(理论总结)四种傅里叶变换对比
周期性对应着离散性,周期化对应着抽样
- 傅里叶变换(FT)
- 时域非周期连续,频域非周期连续
- 傅里叶级数(FS)
- 时域周期连续,频域非周期离散
- 离散时间傅里叶变换(DTFT)
- 时域非周期离散,频域周期连续
- 离散傅里叶级数(DFS)
- 时域周期离散,频域周期离散
(应用补充)离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)
- DFT是一个应用于计算机的算法
- 时域非周期离散,频域非周期离散
- 时域频域都是有限长序列
- 具体的时域频域信号对比图如下
- FFT是一种在计算机上高效运行的具体的DFT算法
- 大概思路是把一段有限序列分成奇数下标、偶数下标两个子序列分治求解再叠加
- 用主定理分析复杂度式子为
,故 - 具体参考数字信号处理的内容