【知识总结】 线性时不变系统的时域分析

线性时不变系统的描述和特点

• 线性时不变系统即LTI系统
  • 连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述
    • ，是常数
  • 离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述
    • ，是常数
• 响应的划分
  • 自由（固有）响应和强迫响应
    • 前者取决于系统自身特性，后者取决于输入激励
    • 是数学上对特解和通解的划分
  • 暂态响应和稳态响应
    • 前者是随着增大会趋近于的项，否则是后者
  • 零输入响应和零状态响应
    • 前者是输入信号为对应的响应，后者是系统初始状态为对应的响应

连续时间LTI系统的响应

经典时域分析方法

• 微分方程法
  • 纯数学方法，如果初始条件或者激励信号发生变化，需要重新求解

卷积法

• 系统全响应=零状态响应+零输入响应
  • 系统的零状态响应
    • 系统初始状态为零时，由系统的外部激励产生的响应
    • 包括特解（对应强迫响应）和齐次解（对应自由响应）
    • 卷积法主要在求零状态响应时使用
  • 系统的零输入响应
    • 输入信号为零，仅由系统初始状态单独作用而产生的输出响应
    • 只包含自由响应

零状态响应求解

• 求解思路
  • 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
  • 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
    • 冲激响应
  • 利用线性时不变系统的齐次性和可加性求出任意信号激励下系统的零状态响应
• 冲激响应
  • 定义
    • 系统初始状态为零的条件下，以冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应
    • N阶连续LTI系统满足
  • 求解
    • 当，，是阶跃函数（起分段函数的作用，同时求导是冲激函数）
    • 当，
    • 待定系数法把代入微分方程，确定，注意有时需要使用冲激函数的筛选特性进行化简
    • 除了上述求解方法，还有平衡法和匹配法，此处略
• 阶跃响应
  • 满足微分方程
  • 求解方法
    • 直接求解微分方程
    • 也可以利用冲激响应和阶跃响应的关系
• 卷积法求系统零状态响应

零输入响应求解

• 数学模型
• 求解方法
  • 特征方程确定特征根
  • 初始条件待定系数

卷积积分运算和性质

• 计算
  • 求卷积对应的积分式即可
• 性质
  • 交换律
    • 系统的冲激响应和输入的激励信号可以互换
  • 分配律
    • 并联LTI系统的冲激响应等于并联系统各子系统冲激响应之和
  • 结合律
    • 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激脉冲响应的卷积
  • 与奇异信号的卷积
    • 自身特性：
    • 延时特性：
    • 微分特性：
    • 积分特性：（理解成一次求导的逆过程）
  • 微分积分时延
    • 已知：
    • 微分：
    • 积分：
    • 时延：
    • 卷积的微分积分时延可随意交换顺序

离散时间LTI系统的响应

迭代法求系统响应

• 根据差分方程迭代出系统的输出
  • 很难得到闭合形式的解

经典时域法求系统响应

• 完全响应由齐次解和组成
• 齐次解的形式
  • 特征根是不等实根
  • 特征根是等实根
  • 特征根是成对共轭复根
• 特解的形式
  • 输入信号是（不是特征根）
  • 输入信号是（是特征根）
  • 输入信号是
  • 输入信号是
  • 输入信号是或
  • 输入信号是或
• 不足之处
  • 纯数学方法，如果初始条件或者激励信号发生变化，需要重新求解

卷积法求系统响应

零输入响应求解

• 数学模型
• 求解方法
  • 特征方程求特征根，确定零输入响应的形式
  • 初始状态待定系数

零状态响应求解

• 求解思路
  • 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合
  • 求出单位脉冲序列在系统上的响应
    • 单位脉冲响应
  • 利用线性时不变系统的特性即可求出任意序列激励下系统的零状态响应
• 单位脉冲响应
  • 定义
    • 单位脉冲序列作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应，用符号表示
    • N阶LTI离散时间系统满足
  • 求解
    • 求解等效初始条件
    • 求差分方程齐次解
    • 最后结果可以使用表示分段函数
• 阶跃响应
  • 定义
    • 单位阶跃序列作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应
  • 求法
    • 迭代法
    • 解差分方程经典法
    • 利用单位阶跃响应和单位脉冲响应的关系
• 卷积法求系统零状态响应

卷积和的运算和性质

• 计算
  • 图解法
    • 利用信号函数图像的翻转平移等操作辅助计算
  • 单位样值序列性质法
    • 进行卷积计算的一个序列是有限长，则可以将其展开为单位样值序列的和
    • 利用单位样值序列卷积性质进行化简
• 性质
  • 交换律
  • 结合律
  • 分配律
  • 位移特性
    • 推论：
  • 差分与求和特性
    • 已知
    • 差分特性：
    • 求和特性：

LTI系统冲激响应和系统的特性

• 级联系统的冲激响应
  • 若
  • 则
• 并联系统的冲激响应
  • 若
  • 则
• 因果系统
  • 定义
    • 系统时刻的输出只和时刻及以前的输入信号有关
  • 充要条件
    • （连续时间LTI系统）或（离散时间LTI系统）
    • 即因果系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零
• 稳定系统
  • 定义
    • 若系统对任意的有界输入其输出也有界，则该系统是稳定系统（BIBO稳定）
  • 充要条件
    • （连续时间LTI系统）或（离散时间LTI系统）