【知识总结】 第三章-向量

• 本知识总结不提供完整的理论体系汇总，旨在给出概念的理解以及各类问题的思考框架。
• 笔记为个人整理，禁止商业用途
• 如有疏漏，欢迎留言

向量的表示

• 一般默认是列向量，比如
• 行向量需要转置列向量，比如
• 在计算时，对向量的行、列判断要清晰

线性相关性

• 线性相关的等价条件
  • 存在不全为的数，使得
  • 存在不全为的数，使得
  • 的秩小于（根据齐次线性方程组知识）
  • 第一章行列式为的等价条件都适合此处
• 线性无关的等价条件
  • 不存在不全为的数，使得
  • 不存在不全为的数，使得
  • 的秩等于（根据齐次线性方程组知识）
  • 第二章可逆矩阵的等价条件都适合此处

线性表出

• 一个向量可以用一个向量组线性表出的等价条件
  • 存在实数，使得
  • 存在实数，使得
  • 和的秩相同（根据非齐次线性方程组知识）
• 一个向量不可以用一个向量组线性表出的等价条件
  • 不存在实数，使得
  • 不存在实数，使得
  • 和的秩不相同（根据非齐次线性方程组知识）
• 一个向量组可以用一个向量组线性表出的等价条件
  • 的每个向量都能用线性表示
  • 存在实数，使得
  • （根据非齐次线性方程组知识）
• 一个向量组不可以用一个向量组线性表出的等价条件
  • 不存在实数，使
  • （根据非齐次线性方程组知识）

向量组等价

向量组等价的判断

• 两个向量组等价的充要条件
  • 两个向量组相互可以线性表示对方
  • （线性表出小节的推论）

和矩阵等价的关系

本节探讨向量组等价和矩阵等价两个条件之间的关系（结论：互相不为对方的必要条件）

• 向量组等价的定义：两个向量组相互可以线性表示
• 矩阵等价的等价条件：两个矩阵同型且秩相同（详见第二章初等变换部分性质3）
• 两个向量组等价，可以说明两个向量组秩相同，即由两向量组所拼成的两个矩阵的秩相同，但不一定同型（向量组的向量数不一定相同），所以，矩阵不一定等价
• 若两个矩阵等价，则对应行（列）向量组的向量个数相同，且秩相同，但两个向量组之间不一定可以线性表出。简单的例子：xy平面的10个向量，yz平面的10个向量，这两个向量组的向量个数都是10，且秩都是2，但是两个向量组之间不可以线性表出

极大线性无关组

• 求法
  • 对列向量组作初等行变换，化成行阶梯型矩阵
  • 因为初等行变换不改变（任意几列的列向量组成的）方程组的解，所以也不改变列向量的线性相关性
  • 根据行阶梯型矩阵的各列向量的线性相关性，得到原向量组的极大线性无关组
• 重要结论：极大线性无关组的向量个数 = 向量组的秩 = 矩阵的秩

理解线性无关向量组的正交化

• 向量个数为n的m维向量组线性无关，意思是向量组恰好张成了m维线性空间的n维子空间，可以表示这个n维子空间的任何向量
• 但是这个n个向量不一定两两垂直，正交化的步骤就是计算垂直分量的步骤
• 设n个向量为，正交化步骤如下
  • ：第一个向量直接照搬，作为第一个维度
  • ：减去其在维度上的分量
  • ：减去其在和维度上的分量
  • ：减去其在一直到维度上的分量
• 正交化后如果再单位化，即得到正交规范向量组

正交矩阵的理解

• 由正交规范向量组构成的矩阵是正交矩阵
• 不同行（列）的内积为0（因为正交化），同一行（列）的内积是1（因为单位化）
  • 因此正交矩阵满足

基变换

• 从基到基
  • 是过渡矩阵

坐标变换

• 从基的坐标到自然基的坐标
• 从基的坐标到基的坐标

线性变换

• 基为的坐标系到基为的坐标系的线性变换
  • 直观含义：线性变换是对坐标向量的映射变换
  • 重要性质：
    • 坐标系变化的方向和坐标变化的方向相反
    • 比如坐标系左移，相当于坐标右移
  • 本质内涵：线性变换表面是对坐标的变换，本质是对坐标系的变换
    • 任何向量在变换前后处于不同的坐标系，表达形式不同，但还是原本的向量
    • 向量在原坐标系的表示看作自变量，在新坐标系的表示看作因变量，线性变换看作映射
  • 严格定义：线性变换使得恒成立
    • 人话解读：原坐标系中满足合成关系的三个向量在线性变换后的坐标系中还满足相同比例的合成关系
    • 超出了线代的基本范畴，理解即可